Какова длина хорды, которая образуется на прямой, которую пересекает окружность x^2+y^2=5?

Kuzya_975

44

Для начала, давайте проанализируем уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 5\). Это уравнение описывает окружность радиусом \(\sqrt{5}\) и центром в начале координат (0, 0).

Теперь давайте представим, что наша прямая пересекает окружность и образует хорду. Чтобы найти длину этой хорды, нам нужно знать координаты точек пересечения прямой и окружности.

Предположим, что уравнение прямой, пересекающей окружность, имеет вид \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, а \(c\) - свободный член. Для нахождения координат точек пересечения подставим это выражение в уравнение окружности:

\[x^2 + (mx + c)^2 = 5\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 5\]

Сгруппируем слагаемые:

\[(1 + m^2)x^2 + (2mc)x + (c^2 - 5) = 0\]

Это квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1 + m^2\), \(b = 2mc\) и \(c = c^2 - 5\).

Таким образом, мы получили значения координат \(x\) точек пересечения прямой и окружности. Подставим эти значения \(x\) обратно в уравнение прямой \(y = mx + c\) и найдем соответствующие значения \(y\).

Теперь, когда у нас есть координаты точек пересечения, мы можем найти расстояние между ними, что и будет являться длиной хорды.

Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в декартовой системе координат задается как:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Применяя эту формулу к нашим точкам пересечения, мы найдем длину хорды, образованной нашей прямой и окружностью.

Мы могли бы продемонстрировать все эти шаги численно, зная конкретные значения \(m\) и \(c\) в уравнении прямой. Однако, без конкретных значений \(m\) и \(c\), мы можем только дать общее решение. Если у вас есть конкретные значения \(m\) и \(c\), пожалуйста, предоставьте их для более точного решения.