Какова площадь сектора и сегмента с радиусом 7 см, если угол дуги, ограничивающей их, равен: а) 30°; б) 45°; в) 120°

Крокодил

5

Давайте решим задачу по порядку для каждого пункта:

а) Для расчета площади сектора и сегмента с углом дуги 30° и радиусом 7 см, нам потребуется использовать формулы для нахождения площади сектора и площади сегмента.

1. Найдем площадь сектора. Формула для площади сектора следующая:

\[S_\text{сектора} = \frac{{\theta}}{{360°}} \cdot \pi r^2\]

где \(\theta\) - угол дуги (в радианах), \(\pi\) - число пи (примерно 3,14), \(r\) - радиус.

Переведем угол из градусов в радианы:

\(\theta = \frac{{30°}}{{180°}} \cdot \pi = \frac{{30}}{{180}} \cdot 3,14 \approx 0,523\text{ рад}\)

Теперь найдем площадь сектора:

\[S_\text{сектора} = \frac{{0,523}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 \approx 1,215 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь сектора при заданных условиях составляет примерно 1,215 квадратных сантиметров.

2. Теперь найдем площадь сегмента. Формула для площади сегмента следующая:

\[S_\text{сегмента} = \frac{{\theta}}{{360°}} \cdot \pi r^2 - \frac{{r^2}}{{2}} \cdot (\sin \theta)\]

где \(\theta\) - угол дуги (в радианах), \(\pi\) - число пи (примерно 3,14), \(r\) - радиус.

Используем значение угла и радиуса из условия:

\[S_\text{сегмента} = \frac{{0,523}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 - \frac{{7^2}}{{2}} \cdot (\sin(0,523))\]

Выполним расчет:

\[S_\text{сегмента} \approx 1,215 - \frac{{49}}{{2}} \cdot 0,500 \approx 1,215 - 24,5 \cdot 0,500 \approx 1,215 - 12,25 \approx 0,965 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь сегмента при заданных условиях составляет примерно 0,965 квадратных сантиметров.

б) Повторим аналогичные шаги для угла дуги 45°:

1. Найдем площадь сектора:

\(\theta = \frac{{45°}}{{180°}} \cdot \pi = \frac{{45}}{{180}} \cdot 3,14 \approx 0,785\text{ рад}\)

\[S_\text{сектора} = \frac{{0,785}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 \approx 0,963 \text{ см}^2\]

2. Найдем площадь сегмента:

\[S_\text{сегмента} = \frac{{0,785}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 - \frac{{7^2}}{{2}} \cdot (\sin(0,785))\]

\[S_\text{сегмента} \approx 0,963 - \frac{{49}}{{2}} \cdot 0,707 \approx 0,963 - 24,5 \cdot 0,707 \approx 0,963 - 17,28 \approx 0,683 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь сектора составляет примерно 0,963 квадратных сантиметра, а площадь сегмента - примерно 0,683 квадратных сантиметра.

в) Для угла дуги 120° проведем аналогичные расчеты:

1. Найдем площадь сектора:

\(\theta = \frac{{120°}}{{180°}} \cdot \pi = \frac{{120}}{{180}} \cdot 3,14 \approx 2,094\text{ рад}\)

\[S_\text{сектора} = \frac{{2,094}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 \approx 9,618 \text{ см}^2\]

2. Найдем площадь сегмента:

\[S_\text{сегмента} = \frac{{2,094}}{{360°}} \cdot 3,14 \cdot 7^2 - \frac{{7^2}}{{2}} \cdot (\sin(2,094))\]

\[S_\text{сегмента} \approx 9,618 - \frac{{49}}{{2}} \cdot 0,866 \approx 9,618 - 24,5 \cdot 0,866 \approx 9,618 - 21,21 \approx 3,408 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь сектора составляет примерно 9,618 квадратных сантиметров, а площадь сегмента - примерно 3,408 квадратных сантиметра.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как находить площадь сектора и сегмента в зависимости от заданного угла дуги и радиуса. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!