Какова площадь сферы, если плоскость проходит через конец радиуса под углом 30 градусов к нему и находится

Малыш_2101

16

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать геометрию и формулы для нахождения площади сферы.

1. Вспомним формулу для площади сферы. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности сферы, а \(r\) - радиус сферы.

2. В этой задаче, плоскость проходит через конец радиуса под углом 30 градусов к нему и находится на расстоянии 8 см от центра сферы. Обозначим \(d\) это расстояние от центра сферы до плоскости, а \(R\) - радиус сферы.

3. У нас есть прямоугольный треугольник, где один катет равен 8 см, а угол между этим катетом и гипотенузой равен 30 градусов.

4. Когда мы знаем один катет и угол между ним и гипотенузой, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, чтобы найти длину гипотенузы. В данном случае, гипотенуза будет равна \(H = \frac{{d}}{{\sin 30°}}\).

5. Так как гипотенуза прямоугольного треугольника равна радиусу сферы, мы можем записать \(H = R\).

6. Подставим значения в формулу для гипотенузы: \(R = \frac{{d}}{{\sin 30°}}\).

7. Для нахождения площади поверхности сферы подставляем \(R\) в формулу площади сферы: \(S = 4\pi R^2\).

8. В этой задаче нам известно, что \(d = 8\) см, поэтому мы можем заменить \(d\) на 8 в формуле для \(R\): \(R = \frac{{8}}{{\sin 30°}}\).

9. Теперь мы можем вычислить \(R\): \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), следовательно, \(R = \frac{{8}}{{\frac{1}{2}}} = 16\) см.

10. Подставим \(R\) в формулу для площади поверхности сферы:
\(S = 4\pi \cdot (16)^2 = 4\pi \cdot 256 = 1024\pi\) см².

Таким образом, площадь поверхности сферы, если плоскость проходит через конец радиуса под углом 30 градусов к нему и находится на расстоянии 8 см от центра сферы, равна \(1024\pi\) квадратных сантиметра.