Если есть плоскость, которая параллельна основной плоскости пирамиды и делит ее высоту пополам, то какое утверждение

Artur

30

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся, что происходит при обрезании пирамиды плоскостью, параллельной ее основной плоскости и проходящей через ее высоту на половину.

При обрезании пирамиды такой плоскостью, образуется новая пирамида, которая получается путем удаления верхней части исходной пирамиды.

Теперь рассмотрим боковую поверхность обрезанной пирамиды. Она состоит из боковых граней, которые остались после обрезания.

Поскольку плоскость обрезания делит высоту исходной пирамиды пополам, то верхняя и нижняя части пирамиды будут иметь одинаковые высоты относительно плоскости обрезания.

Так как обрезанная пирамида имеет плоскость обрезания, параллельную основной плоскости исходной пирамиды, боковые грани обрезанной пирамиды будут подобны боковым граням исходной пирамиды. Это значит, что соотношение площадей боковых поверхностей будет таким же, как соотношение площадей боковых граней пирамид.

Таким образом, площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды будет пропорциональна площади боковой поверхности исходной пирамиды.

Здесь важно заметить, что площадь поверхности пирамиды пропорциональна квадрату длины любого ее ребра, и так как соотношение площадей боковых поверхностей будет таким же, как соотношение соответствующих ребер, мы можем утверждать, что площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды будет пропорциональна квадрату длины ребра обрезанной пирамиды, а площадь боковой поверхности исходной пирамиды будет пропорциональна квадрату длины ребра исходной пирамиды.

Следовательно, чтобы определить какое утверждение верно, нам нужно знать, как связаны длины ребер обрезанной и исходной пирамиды.

Для этого обратимся к теореме о подобных треугольниках. Если плоскость обрезания разделяет высоту пирамиды пополам, то треугольник, образованный плоскостью обрезания и двумя ребрами пирамиды, будет подобен треугольнику, образованному плоскостью обрезания и двумя ребрами обрезанной пирамиды. Поэтому соотношение длин ребер обрезанной и исходной пирамид будет равно отношению половины высоты исходной пирамиды к половине высоты обрезанной пирамиды.

Таким образом, длины ребер будут в пропорции с корнем из отношения высот пирамиды. А поскольку площадь боковой поверхности пропорциональна квадрату длины ребра, мы можем заключить, что площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды будет пропорциональна к площади боковой поверхности исходной пирамиды, и коэффициент пропорциональности будет равен квадрату отношения высот обрезанной и исходной пирамид.

Теперь остается только выбрать из предложенных утверждений то, которое описывает это соотношение.

Посмотрим на варианты:

1) Площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды равна 3/4 площади боковой поверхности исходной пирамиды.

2) Площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды равна половине площади боковой поверхности исходной пирамиды.

3) Площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды равна 1/4 площади боковой поверхности исходной пирамиды.

Исходя из рассуждений выше, правильный ответ - 2) Площадь боковой поверхности обрезанной пирамиды равна половине площади боковой поверхности исходной пирамиды.