Какова площадь сферы, если стороны равнобедренного треугольника касаются ее? Известно, что длина ОО1 равна 5

Летающий_Космонавт

10

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства треугольников и сферы. Давайте начнем с того, что установим связь между треугольником и сферой.

Первое свойство, которое нам понадобится, - это то, что касательная к сфере в точке касания является перпендикулярной радиусу, проведенному в этой точке. Изображение этого свойства можно представить себе, как если бы треугольник ABC был вписанным в сферу, а стороны треугольника были касательными к этой сфере.

Теперь обратим внимание на равнобедренный треугольник ABC. Мы знаем, что стороны AB и AC равны 20 см и сторона BC равна 24 см. Если мы нарисуем высоту из вершины C, она будет делить сторону AB на две равные части, поскольку треугольник ABC равнобедренный. Пусть точка O будет центром вписанной сферы.

Теперь давайте рассмотрим треугольник OCO1, где O1 - точка касания сферы с треугольником ABC. Мы знаем, что сторона AB делится точкой O на две равные части. Таким образом, сторона AO будет равна половине стороны AB, то есть 10 см. Также, длина ОО1 равна 5 см, как указано в задаче.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AOO1, где AO равно 10 см, а ОО1 равно 5 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины стороны AО1:

\[AO_1 = \sqrt{AO^2 - O_1O^2}\]
\[AO_1 = \sqrt{10^2 - 5^2}\]
\[AO_1 = \sqrt{100 - 25}\]
\[AO_1 = \sqrt{75}\]
\[AO_1 = 5\sqrt{3}\]

Теперь мы можем рассмотреть площадь поверхности сферы. Площадь поверхности сферы можно вычислить с помощью формулы:

\[S = 4\pi r^2\]

где S - площадь поверхности сферы, а r - радиус сферы. В нашем случае, радиус сферы будет равен радиусу вписанной сферы, то есть AO1:

\[r = AO_1 = 5\sqrt{3}\]

Теперь мы можем подставить значение радиуса в формулу и вычислить площадь поверхности сферы:

\[S = 4\pi (5\sqrt{3})^2\]
\[S = 4\pi \cdot 25 \cdot 3\]
\[S = 300\pi\]

Таким образом, площадь поверхности сферы равна \(300\pi\) квадратных сантиметров.

Мы получили ответ, но давайте также поясним, как пришли к этому ответу. Мы использовали свойства треугольников и сферы для понимания связи между равнобедренным треугольником и вписанной сферой. Затем мы использовали теорему Пифагора для вычисления длины стороны треугольника, а затем использовали формулу для вычисления площади поверхности сферы. В результате получили площадь поверхности сферы равной \(300\pi\) квадратных сантиметров.