Какова площадь сферы, на которой находятся вершины равностороннего треугольника, если его сторона равна 5

Муха

27

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые формулы и свойства равностороннего треугольника и сферы.

1. Площадь равностороннего треугольника:
Площадь равностороннего треугольника можно найти с использованием формулы \(S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника.

2. Радиус сферы:
В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому длина любой стороны равна 5 см. Мы также знаем, что радиус сферы проходит через вершину равностороннего треугольника и центр сферы. По свойству равностороннего треугольника, радиус сферы равен половине длины диагонали треугольника, т.е. радиус сферы \(r\) = \(\frac{{\text{длина диагонали треугольника}}}{2}\).

3. Площадь сферы:
Площадь сферы можно найти с использованием формулы \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь сферы, \(r\) - радиус сферы.

Теперь, когда мы знаем необходимые формулы и свойства, давайте решим задачу:

1. Найдем площадь равностороннего треугольника:
В данной задаче длина стороны равна 5 см, поэтому подставляем \(a = 5\) в формулу площади равностороннего треугольника:
\(S = \frac{{5^2\sqrt{3}}}{4}\)
\(S = \frac{{25\sqrt{3}}}{4}\)
\(S \approx 10.82\) (округляем до двух знаков после запятой)

2. Найдем радиус сферы:
У нас есть информация о диагонали равностороннего треугольника, но нам нужно найти только половину диагонали. Поскольку диагональ составляет прямой угол с стороной треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения половины диагонали. Половина диагонали равна \(\frac{{\text{длина стороны треугольника}} \times \sqrt{3}}{2}\).
Подставляем значения: \(\frac{{5 \times \sqrt{3}}}{2}\)
Теперь находим радиус сферы, используя найденную половину диагонали:
\(r = \frac{{\text{половина диагонали}}}{2} = \frac{{5 \times \sqrt{3}}}{4}\)

3. Найдем площадь сферы:
Подставляем значение радиуса в формулу площади сферы:
\(S = 4\pi \left(\frac{{5 \times \sqrt{3}}}{4}\right)^2\)
\(S = 4\pi \frac{{75}}{16}\)
\(S = \frac{{75\pi}}{4}\)
\(S \approx 58.92\) (округляем до двух знаков после запятой)

Итак, площадь сферы, на которой находятся вершины равностороннего треугольника со стороной 5 см и диагональю \(5\sqrt{3}\) см, составляет примерно 58.92 квадратных сантиметра.