Какова площадь сферы, описанной вокруг цилиндра, если его объём составляет 48П см3 и площадь осевого сечения равна

Zvezdnaya_Galaktika

19

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо разобраться с основными формулами для объёма и площади поверхности сферы, а также понять, как они связаны с объёмом и площадью осевого сечения цилиндра.

Объём цилиндра можно найти по формуле:
\[V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\]
где \(V_{\text{цил}}\) - объём цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Площадь осевого сечения цилиндра можно найти по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2,\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания цилиндра.

Площадь поверхности сферы можно найти по формуле:
\[S_{\text{сф}} = 4\pi R^2,\]
где \(S_{\text{сф}}\) - площадь поверхности сферы, \(R\) - радиус сферы.

Мы знаем, что объём цилиндра равен 48П см³, что в числовом выражении составляет \(48\pi\) см³.
Также площадь осевого сечения цилиндра равна 24 см².
Наша задача - найти площадь поверхности сферы, описанной вокруг данного цилиндра.

Чтобы решить задачу, нам необходимо найти радиус сферы \(R\).
Для этого воспользуемся данными о площади осевого сечения цилиндра и найдём радиус цилиндра \(r\):
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 24.\]
Отсюда получаем:
\[r^2 = \frac{{24}}{{\pi}}.\]
Используя это, мы можем найти высоту цилиндра \(h\) из формулы объёма цилиндра:
\(V_{\text{цил}} = 48\pi = \pi r^2 h.\)
Подставляя значение \(r^2 = \frac{{24}}{{\pi}}\) в формулу, получаем:
\[h = \frac{{48\pi}}{{\pi \cdot \frac{{24}}{{\pi}}}} = 2.\]

Теперь, когда мы знаем радиус цилиндра \(r\) и высоту цилиндра \(h\), можно найти радиус сферы \(R\).
\[R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{{h}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{{24}}{{\pi}} + \left(\frac{{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{{24}}{{\pi}}+1}.\]

Наконец, чтобы найти площадь поверхности сферы \(S_{\text{сф}}\), подставляем значение \(R\) в формулу:
\[S_{\text{сф}} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\sqrt{\frac{{24}}{{\pi}}+1}\right)^2.\]
Раскрываем скобки и получаем окончательный ответ.

Очень важно помнить, что все значения в задаче уже представлены в сантиметрах исходя из размерности задачи, поэтому ответ также будет в сантиметрах.