Какое максимальное количество точек может быть пересечено 30 прямыми?

Zolotoy_Klyuch

42

Для решения этой задачи разберемся сначала с минимальным количеством точек, которое может быть пересечено 30 прямыми.

Представим ситуацию, когда все прямые проходят через одну точку. В этом случае каждая новая прямая будет пересекать только одну точку - ту же самую. Таким образом, минимальное количество точек пересечений будет равно 1.

Теперь рассмотрим максимальное количество точек пересечений. Представим, что все 30 прямых взаимно пересекаются. Это значит, что каждая прямая будет пересекать каждую другую прямую.

Когда две прямые пересекаются, они образуют одну точку пересечения. Когда третья прямая пересекает первые две, она также образует одну точку пересечения с каждой из них. Таким образом, каждая новая прямая добавляет такое же количество новых точек пересечений с каждой уже имеющейся прямой.

Исходя из этого, количество точек пересечений будет расти арифметически с добавлением каждой новой прямой. Рассчитаем общее количество точек пересечений, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае \(a = 1\) (первая прямая пересекает одну точку), \(d = 1\) (количество новых точек пересечений, добавляемых каждой новой прямой), \(n = 30\) (количество прямых).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (30-1) \cdot 1)\]

\[S_{30} = 15 \cdot (2 + 29)\]

\[S_{30} = 15 \cdot 31\]

\[S_{30} = 465\]

Таким образом, максимальное количество точек пересечений 30 прямыми равно 465.