Какова площадь трапеции PKMN, если боковые стороны равны 12 и 15, а основание KM равно 7, и биссектриса угла PNM делит

Шнур

60

Для нахождения площади трапеции \(P K M N\) нам нужно разделить трапецию на два треугольника и прямоугольник, а затем сложить их площади.

1. Построим биссектрису угла \(P N M\) и обозначим точку пересечения с отрезком \(P K\) как точку \(L\). Так как биссектриса делит сторону \(P K\) в соотношении 2:1, то \(P L = 2x\) и \(L K = x\), где \(x\) - длина каждого из отрезков \(P L\) и \(L K\).

2. Так как биссектриса делит основание \(K M\) трапеции на две равные части, то \(K L = \frac{1}{2} K M = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5\).

3. Теперь мы можем найти значение \(x\). Поскольку \(P L = 2x\) и \(L K = x\), то \(P K = P L + L K = 2x + x = 3x\). Также, \(P K = P N + N K = 12\), поскольку \(P N = 12\). Следовательно, \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\).

4. Теперь у нас есть все стороны треугольника \(P L K\) и можем найти его площадь с помощью формулы для площади треугольника по сторонам: \[S_{\triangle PLK} = \sqrt{p(p - PL)(p - LK)(p - PK)},\]
где \(p\) - полупериметр треугольника \(P L K\), равный \(\frac{P L + L K + P K}{2}\).

5. После нахождения площади треугольника \(P L K\) умножим её на 2, так как у нас два таких треугольника.

6. Найдём площадь прямоугольника \(P N M L\), где \(P N = 12\), \(L P = 2 \cdot 4 = 8\). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

7. Теперь мы можем найти общую площадь трапеции \(P K M N\) как сумму площадей двух треугольников и прямоугольника: \[S_{P K M N} = 2 \cdot S_{\triangle PLK} + S_{P N M L}\]. Подставим известные значения и выполним вычисления.

Этими шагами мы можем решить задачу и найти площадь трапеции \(P K M N\).