Какова площадь трапеции с длинами сторон AD = 16 см, DC = 4 см и AB = 32 см, а угол А равен 30 градусам?

Lizonka

58

Чтобы вычислить площадь трапеции, нам понадобится знание формулы для ее вычисления. Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

Для начала, нам нужно найти высоту трапеции. Для этого, мы можем воспользоваться информацией о длинах сторон трапеции.

Первый шаг состоит в построении высоты \(h\) из вершины B трапеции ABDC. Нам дано, что угол А равен 30 градусам, и ABDC - трапеция. Отрезок, проведенный из вершины B, является высотой трапеции, поэтому угол между этой высотой и боковой стороной равен прямому углу, то есть 90 градусов.

Теперь, чтобы найти высоту, нам нужно разделить трапецию на два треугольника: ABC и BCD. Зная длину стороны AB (32 см) и тангенс угла А (30 градусов), мы можем найти высоту треугольника ABC с помощью тангенса:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{h}}{{AB}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{h}}{{32}}\]

Чтобы найти \(h\), умножим обе стороны уравнения на 32:

\[h = 32 \cdot \tan(30^\circ)\]

Теперь, когда у нас есть высота (h = 16√3 см), мы можем найти площадь трапеции, подставив значения в формулу:

\[S = \frac{{(AD + BC) \cdot h}}{2}\]
\[S = \frac{{(16 + 4) \cdot 16\sqrt{3}}}{2}\]
\[S = \frac{{20 \cdot 16\sqrt{3}}}{2}\]
\[S = 160\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь трапеции равна \(160\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.