Какова площадь трапеции SWKJ, если высота KG образует квадрат SWKG, угол J равен 45°, а площадь треугольника KJG

Drakon

46

Чтобы найти площадь трапеции SWKJ, нам нужно использовать информацию о других фигурах и углах в задаче.

Поскольку высота KG образует квадрат SWKG, мы можем сделать вывод, что основания трапеции, отрезки SW и KJ, параллельны друг другу, так как они соответствуют противоположным сторонам квадрата.

У нас есть угол J, который равен 45°. Из этого факта мы можем заключить, что угол K равен 180° - 90° - 45° = 45°, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника KJG, которая равна 35 дм². Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

\[Площадь_\text{треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Известно, что высота треугольника равна KG, а рассматривая треугольник KJG, основанием является отрезок KJ. Подставим значения в формулу:

\[35 = \frac{1}{2} \times KJ \times KG\]

Мы видим, что у нас есть два неизвестных значения: KJ и KG. Однако, мы знаем, что высота KG образует квадрат SWKG. Поэтому, KG равна стороне квадрата SWKG. Пусть длина стороны квадрата равна a.

Таким образом, KG = a и KJ = a. Заменим значения в уравнении площади треугольника:

\[35 = \frac{1}{2} \times a \times a\]

Упростим уравнение:

\[35 = \frac{1}{2} \times a^2\]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[70 = a^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{70}\]

Таким образом, длина стороны квадрата SWKG равна a = √70.

Чтобы найти площадь трапеции SWKJ, мы можем использовать формулу:

\[Площадь_\text{трапеции} = \frac{1}{2} \times (\text{сумма оснований}) \times \text{высота}\]

Строим параллельные линии из верхних углов трапеции SWKJ к основанию SW, обозначим точку пересечения линий E.

Таким образом, основания трапеции равны SK и WE, их сумма равна SK + WE = SW + WE.

Так как SWKG - квадрат, то SW = KG = a, а также WE = KJ = a.

Значит, SW + WE = a + a = 2a.

Раз мы уже нашли длину стороны квадрата SWKG (а = √70), мы можем вычислить сумму оснований трапеции:

SW + WE = 2a = 2√70.

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади трапеции:

\[Площадь_\text{трапеции SWKJ} = \frac{1}{2} \times (2√70) \times KG\]

Но мы помним, что KG = a = √70.

Подставим значения и упростим уравнение:

\[Площадь_\text{трапеции SWKJ} = \frac{1}{2} \times 2√70 \times √70\]
\[Площадь_\text{трапеции SWKJ} = √70 \times √70\]
\[Площадь_\text{трапеции SWKJ} = 70\]

Таким образом, площадь трапеции SWKJ равна 70 дм².