Какова площадь треугольника ABC, если известно, что его стороны равны 7 и 20, а синус угла A равен 3/5?

Zolotaya_Zavesa

56

Чтобы найти площадь треугольника ABC, вам понадобятся две формулы: одна для вычисления площади по сторонам треугольника, а другая для вычисления площади по сторонам и синусу угла.

Сначала давайте воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника по сторонам. Формула гласит:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, равный сумме длин всех сторон, деленной на 2.

В нашем случае у треугольника стороны равны 7 и 20. Поэтому \(a = 7\), \(b = 20\). Чтобы найти \(p\), сложим длины всех сторон и разделим на 2:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 20 + c}{2} = \frac{27 + c}{2}\]

Теперь нам нужно найти сторону \(c\), но для этого нам понадобится информация о третьем угле треугольника или о еще одной стороне. В задаче дано, что синус угла A равен 3/5.

Соотношение \(\sin A = \frac{a}{c}\) показывает, что синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Следовательно,

\[\frac{3}{5} = \frac{a}{c} = \frac{7}{c}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(c\):

\[3c = 5 \times 7 = 35\]
\[c = \frac{35}{3}\]

Теперь, зная все стороны треугольника, мы можем рассчитать площадь \(S\).

Сначала найдем \(p\):
\[p = \frac{27 + \frac{35}{3}}{2}\]

Теперь найдем площадь \(S\):
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Вычислим значение \(S\) и округлим его до двух знаков после запятой:
\[S \approx 39.9\]

Ответ: площадь треугольника ABC составляет примерно 39.9.