Каковы значения диагоналей параллелограмма ABCD, если стороны равны 7 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°?

Zvezdnaya_Tayna_6107

47

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в их точке пересечения. Давайте рассмотрим каждую диагональ по отдельности.

Диагонали параллелограмма, обозначим их \(AC\) и \(BD\), делятся пополам, то есть точка пересечения диагоналей, обозначим её как \(O\), разделяет каждую диагональ на две равные части.

Мы знаем, что стороны параллелограмма равны 7 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°. Поскольку мы знаем все стороны, можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длины диагоналей.

Прежде всего, найдем длину стороны, которая не будет служить диагональю. Для этого мы можем использовать косинусную теорему:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина стороны, не служащей диагональю, \(a\) и \(b\) - длины известных сторон, \(C\) - угол между известными сторонами.

Подставляя значения:

\[c^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos(120°)\]

\[c^2 = 49 + 16 - 56 \cdot (-0,5)\]

\[c^2 = 49 + 16 + 28\]

\[c^2 = 93\]

\[c = \sqrt{93} \approx 9,64 \, \text{см}\]

Теперь, зная длину стороны, не являющейся диагональю, мы можем найти длины диагоналей, зная, что они делятся пополам.

По свойству параллелограмма \(AC = 2 \cdot OC\) и \(BD = 2 \cdot OD\), где \(OC\) и \(OD\) - половины длины диагоналей.

Следовательно, \(OC = \frac{c}{2}\) и \(OD = \frac{c}{2}\).

Подставляя значения:

\[OC = OD = \frac{9,64 \, \text{см}}{2} = 4,82 \, \text{см}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны 4,82 см каждая.