Какова площадь треугольника ABC, если сторона BC и сторона AC равны соответственно 6 и 10.8 см, а углы B и A равны

Пётр

4

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности треугольника.

Шаг 1: Найдем значение угла C. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол C, используя формулу: C = 180° - A - B. В нашем случае, угол C равен 180° - 70° - 70° = 40°.

Шаг 2: Вычислим длину стороны AB, используя закон синусов. Закон синусов гласит, что отношение каждого из синусов двух углов к соответствующим сторонам равно. Определим значение стороны AB, зная значения углов и сторон AC и BC.

\[ \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \]

\[ AB = \frac{{AC \cdot \sin C}}{{\sin B}} \]

\[ AB = \frac{{10.8 \cdot \sin 40°}}{{\sin 70°}} \]

Применяя закон синусов, получаем: AB ≈ 8.017 см.

Шаг 3: Теперь мы можем найти полупериметр треугольника ABC, используя формулу:
\[ \text{{полупериметр}} = \frac{{AB + BC + AC}}{2} \]
\[ \text{{полупериметр}} = \frac{{8.017 + 6 + 10.8}}{2} \]
\[ \text{{полупериметр}} \approx 12.908 \text{{ см}} \]

Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности треугольника ABC, используя формулу:
\[ \text{{радиус вписанной окружности}} = \sqrt{{\frac{{(\text{{полупериметр}} - AB) \cdot (\text{{полупериметр}} - BC) \cdot (\text{{полупериметр}} - AC)}}{{\text{{полупериметр}}}}}} \]
\[ \text{{радиус вписанной окружности}} = \sqrt{{\frac{{(12.908 - 8.017) \cdot (12.908 - 6) \cdot (12.908 - 10.8)}}{{12.908}}}} \]
\[ \text{{радиус вписанной окружности}} \approx 1.779 \text{{ см}} \]

Шаг 5: Теперь, когда у нас есть радиус вписанной окружности треугольника ABC, мы можем найти площадь треугольника с помощью формулы:
\[ \text{{площадь}} = \pi \cdot \text{{радиус вписанной окружности}}^2 \]
\[ \text{{площадь}} = \pi \cdot (1.779)^2 \]
\[ \text{{площадь}} \approx 9.973 \text{{ см}}^2 \]

Итак, площадь треугольника ABC составляет примерно 9.973 квадратных сантиметров.