Какова площадь равнобедренной трапеции, если из вершины тупого угла проведена высота, которая делит основание

Svetlana

58

Конечно, я помогу вам с этой задачей! Для начала обозначим стороны трапеции следующим образом: основание трапеции будем обозначать как \(a\), боковые стороны как \(b\), высоту трапеции как \(h\).

У нас есть несколько условий задачи. По условию, из вершины тупого угла трапеции проведена высота, которая делит основание на два отрезка. Больший отрезок основания равен \(\sqrt{3}\) см, поэтому мы можем представить расстояние от нижней вершины трапеции до точки пересечения высоты с основанием как \(x\) см, а расстояние от этой точки до второй вершины трапеции как \(y\) см. Тогда получаем следующее равенство:
\[a = x + y = \sqrt{3}\]

Также в условии задачи сказано, что угол между диагоналями трапеции составляет 60°. Распишем это условие по формуле косинусов:
\[b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60°)\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений, чтобы найти значения сторон трапеции. Решим первое уравнение относительно \(y\):
\[y = \sqrt{3} - x\]

Подставим его во второе уравнение:
\[b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} - x)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60°)\]

Выразим \(x\) из этого уравнения и решим полученное квадратное уравнение:
\[x = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Но по условию \(x\) должен быть положительным числом, поэтому мы выбираем \(x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Теперь мы можем найти значение \(y\):
\[y = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Итак, имея значения \(x\) и \(y\), мы можем найти значения сторон трапеции \(a\), \(b\) и ее площадь \(S\):
\[a = x + y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]
\[b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60°) = 3 + 3 - 3 = 3\]
\[b = \sqrt{3}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\]

Итак, площадь равнобедренной трапеции равна 3 квадратным сантиметрам.