Какова площадь треугольника АВС, если окружность радиусом 4 см описана вокруг него и имеет центр в угле В, который

Magnitnyy_Marsianin

56

Пусть диаметр окружности, перпендикулярный стороне ВС, пересекает сторону АВ в точке М. Обозначим отношение АМ к ВМ через \(x\).

Так как угол В равен 60 градусов и ВМ является радиусом окружности, то треугольник ВМС является равносторонним треугольником. Это означает, что сторона ВС равна радиусу окружности, то есть 4 см.

Для нахождения отношения АМ к ВМ, мы можем использовать теорему синусов в треугольнике АВМ.

Теорема синусов гласит, что в треугольнике со сторонами a, b и c, и противолежащими углами A, B и C, соответственно, верно следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Применим эту теорему к треугольнику АВМ:

\[\frac{АМ}{\sin(\angle А)} = \frac{ВМ}{\sin(\angle В)} = \frac{АВ}{\sin(\angle М)}\]

Угол А равен 180 градусов минус угол В и минус угол М. Так как угол В равен 60 градусов, а угол М равен 90 градусов (так как ВМ перпендикулярен ВС), то угол А равен 30 градусам.

Теперь мы можем записать равенство:

\[\frac{АМ}{\sin(30^{\circ})} = \frac{4}{\sin(60^{\circ})}\]

\[\frac{АМ}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Перевернем дроби:

\[2АМ = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Домножим обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[2АМ \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

\[АМ \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

Выразим АМ:

\[АМ = \frac{8}{4} = 2\]

Теперь, когда мы знаем отношение АМ к ВМ, мы можем найти длину стороны АВ, используя \(x\):

\[АВ = АМ + ВМ = 2 + 4 = 6\]

Таким образом, мы нашли длины всех трех сторон треугольника АВС. Теперь можем найти его площадь, используя формулу для площади треугольника, зависящую от длин сторон и полупериметра треугольника.

Полупериметр треугольника \(p\) можно найти как сумму длин всех сторон, разделенную на 2:

\[p = \frac{АВ+АС+ВС}{2} = \frac{6+4+4}{2} = 7\]

Теперь, используя формулу для площади треугольника \(S\) в зависимости от длин сторон \(a\), \(b\), и \(c\) и полупериметра \(p\):

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Подставляем значения:

\[S = \sqrt{7(7-6)(7-4)(7-4)} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{63} \approx 7,94 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь треугольника АВС равна приблизительно 7,94 см².