Какова площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 7, а радиус вписанной окружности равен

Радио

14

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольников и окружностей. Давайте разберемся пошагово.

1. Введем обозначение: пусть радиус вписанной окружности равен \(r\), а точки касания окружности с сторонами треугольника обозначим как \(D\), \(E\), и \(F\), где \(D\) - точка касания с \(AB\),\(E\) - точка касания с \(BC\), и \(F\) - точка касания с \(AC\). Кроме того, пусть \(s\) - полупериметр треугольника, а \(S\) - площадь треугольника \(ABC\).

2. Свойство 1: радиус вписанной окружности перпендикулярен к соответствующей стороне треугольника в точке касания. В данном случае, радиус \(r\) перпендикулярен к стороне \(AB\) в точке \(D\).

3. Свойство 2: точки касания и середины сторон треугольника соединены прямыми линиями и образуют центроподобный пятиугольник. В нашем случае это пятиугольник \(BDFEC\).

4. Свойство 3: в центроподобном пятиугольнике отношение длины стороны к радиусу окружности равно \(\sqrt{3}\). В нашем случае отношение равно \(\frac{7}{r}\).

5. Найдем длины сторон треугольника \(ABC\). Используя теорему Пифагора, можем найти, например, сторону \(BC\). Для этого проведем отрезок \(BE\), который является высотой треугольника \(ABC\), и получим прямоугольный треугольник \(BCE\). Тогда применим теорему Пифагора:

\[BC^2 = BE^2 + EC^2 = (r+r)^2 + 7^2 = 4r^2 + 49.\]

Таким же образом найдем и длины сторон \(AC\) и \(AB\):

\[AC^2 = AF^2 + FC^2 = (r+r)^2 + 7^2 = 4r^2 + 49,\]
\[AB^2 = AD^2 + DB^2 = (r+r)^2 + 7^2 = 4r^2 + 49.\]

6. Найдем полупериметр треугольника \(ABC\). По определению полупериметра, он равен сумме длин сторон, деленной на 2:

\[s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{(4r^2+49) + (4r^2+49) + (4r^2+49)}{2} = 6r^2 + 73.\]

7. Теперь можем найти площадь треугольника \(ABC\) используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)}.\]

Подставим полученные значения:

\[S = \sqrt{(6r^2 + 73)((6r^2+73)-(4r^2+49))((6r^2+73)-(4r^2+49))((6r^2+73)-(4r^2+49))}.\]

Упростим это выражение:

\[S = \sqrt{(6r^2 + 73)(2r^2 + 24)(2r^2 + 24)(2r^2 + 24)}.\]

8. Теперь можем упростить полученное выражение:

\[S = (6r^2 + 73)\sqrt{(2r^2+24)^3}.\]

Это и есть окончательный ответ. Площадь треугольника \(ABC\) равна \((6r^2 + 73)\sqrt{(2r^2+24)^3}\), где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Мы использовали свойства треугольников и окружностей, а также теорему Пифагора и формулу Герона для решения задачи. Надеюсь, это объяснение понятно школьнику. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!