Какова площадь треугольника BOD, если известно, что OB = OC и OD = 3OA, а площадь треугольника AOS равна 16 см²?

Oreh

64

Давайте решим задачу.

У нас есть треугольник AOS, у которого площадь равна 16 см². Мы хотим найти площадь треугольника BOD. Для этого мы должны понять, как связаны эти два треугольника.

Так как OB = OC, мы можем сказать, что треугольники AOB и AOC являются равнобедренными треугольниками. Значит, у них равны основания AO и BO, и углы между основаниями равны.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник AOB. У нас есть информация, что OD = 3OA. Зная это, мы можем сказать, что треугольники AOD и OAB подобны. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти отношение длин сторон треугольников AOD и OAB.

Поскольку сторона AO в треугольнике AOD имеет длину b, а сторона AO в треугольнике OAB имеет длину a, мы можем записать это отношение как \(\frac{a}{b} = \frac{AD}{AO} = \frac{3AO}{AO} = 3\).

Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника BOD. Мы знаем, что площадь треугольника BOD равна площади треугольника AOS. Пусть площадь треугольника BOD равна S.

Тогда мы можем записать \(\frac{S}{16 \, \text{см}^2} = \left( \frac{BD}{AO} \right)^2\), где BD - это сторона треугольника BOD, а AO - сторона треугольника AOD.

Мы можем найти отношение BD к AO, используя отношение их площадей. Так как площадь треугольника BOD равна площади треугольника AOS (S = 16 cm²), мы можем записать отношение следующим образом: \(\frac{S}{16 \, \text{см}^2} = \frac{BD^2}{AO^2}\).

Теперь мы можем объединить все полученные данные:

\(\frac{S}{16 \, \text{см}^2} = \left( \frac{BD}{AO} \right)^2 = \left( \frac{BD}{b} \right)^2 = \left( \frac{BD}{\frac{1}{3} OD} \right)^2 = \left( \frac{BD}{\frac{1}{3} \cdot 3AO} \right)^2 = \left( \frac{BD}{AO} \right)^2 = \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 3^2 = 9\).

Таким образом, \(\frac{S}{16 \, \text{см}^2} = 9\) и мы можем найти площадь треугольника BOD, умножив обе стороны на 16 \(\text{см}^2\): \(S = 9 \cdot 16 \, \text{см}^2 = 144 \, \text{см}^2\).

Таким образом, площадь треугольника BOD равна 144 \(\text{см}^2\).