В прямоугольном треугольнике ABC, у которого угол C является прямым углом, гипотенуза равна 13, а катет CB равен

Летучий_Волк

25

Конечно, я помогу вам с этой задачей! Давайте начнем с нахождения площади треугольника \(КСА\).

1) Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - основание треугольника, а \(h\) - высота треугольника, опущенная на данное основание.

В данном случае основанием треугольника \(КСА\) является отрезок \(КС\), а его высота - отрезок, проведенный перпендикулярно от вершины \(К\) до основания \(АС\), как показано на изображении:

\[НА

\]

Отсюда получаем, что площадь треугольника \(КСА\) равна

\[S = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot KS\]

Для начала найдем значения \(KC\) и \(KS\):

Исходя из заданных данных, у нас есть информация о сторонах прямоугольного треугольника \(ABC\). Гипотенуза \(AB\) равна 13, а катет \(CB\) равен 12. Можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второго катета \(CA\):

\[CA = \sqrt{AB^2 - CB^2}\]

Подставляем значения:

\[CA = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Теперь, когда у нас есть длина основания \(CA\) и сторона \(KS = 5\), мы можем найти \(KC\) как разность между \(CA\) и \(KS\):

\[KC = CA - KS = 5 - 5 = 0\]

Обратите внимание, что отрезок \(KC\) равен 0, так как \(C\) - прямой угол, и линия \(KS\) проведена перпендикулярно к плоскости \(ABC\).

Теперь, когда мы знаем значения \(KC = 0\) и \(KS = 5\), мы можем вычислить площадь \(S\) треугольника \(КСА\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot KS = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 5 = 0\]

Итак, площадь треугольника \(КСА\) равна 0.

2) Чтобы найти меру угла \(КСА\) в градусах, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема связывает длины сторон треугольника с мерами его углов.

В нашем случае у нас уже есть значения сторон \(CA = 5\) и \(СВ = 12\) прямоугольного треугольника \(ABC\). Мы также знаем, что \(КС = 5\).

Теорема косинусов имеет следующий вид:

\[CA^2 = CB^2 + AB^2 - 2 \cdot CB \cdot AB \cdot \cos(C)\]

Заменяем известные значения:

\[5^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos(C)\]

Решаем данное уравнение для \(\cos(C)\):

\[\cos(C) = \frac{5^2 - 12^2 - 13^2}{-2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{25 - 144 - 169}{-2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{-288}{-312} =\frac{24}{26} = \frac{12}{13}\]

Теперь, чтобы найти меру угла \(КСА\) в градусах, мы можем использовать обратную функцию косинуса: \(C = \arccos(\frac{12}{13})\).

Вычисляем значение меры угла \(САК\) с помощью калькулятора или таблицы тригонометрических функций:

\[C \approx 22.62^{\circ}\]

Ответ: 1) Площадь треугольника \(КСА\) равна 0. 2) Мера угла \(КСА\) составляет примерно 22.62 градуса.