Какова площадь треугольника MPK, если биссектриса треугольника MRK делит сторону RK в отношении 4:7 (см. рисунок 77

Vesna_7629

56

Для решения данной задачи, давайте вначале разберемся с информацией, которая дана на рисунке 77.

На рисунке 77 видно, что у нас есть треугольник MPK и его биссектриса MRK. Также нам известно, что биссектриса делит сторону RK в отношении 4:7.

Теперь приступим к решению задачи:

1. Выпишем известные данные:
- Отношение, в котором биссектриса делит сторону RK: 4:7.

2. Построим соответствующую диаграмму, чтобы визуально представить исходные данные:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & R & & & \\
& & & / & | & \textbf{4x} & | & \textbf{7x} \\
& & &/ & | & & | & \\
& & / & | & & | & | & \\
& M & -- & P & -- & K & & \\
& & & \textbf{a} & & \textbf{b} & & \\
\end{array}
\]

Здесь "4x" и "7x" обозначают отрезки, на которые биссектриса делит сторону RK в соответствии с отношением 4:7. Мы используем неизвестное значение "x", чтобы обозначить длину отрезка RK.

3. Для удобства давайте обозначим длину отрезка MR как "a", а длину отрезка KR как "b". Теперь мы можем составить уравнение на основе отношения:

\[
\frac{4x}{7x} = \frac{a}{b}
\]

4. Решим уравнение, чтобы найти значение "x":

\[
\frac{4x}{7x} = \frac{a}{b}
\]

Упростим уравнение, умножив обе части на 7x:

\[
4x = \frac{7a}{b} \cdot 7x
\]

Сократим "x" с обеих сторон:

\[
4 = \frac{49a}{b}
\]

Теперь умножим обе части на "b" и разделим на 49, чтобы изолировать "a":

\[
4 \cdot b = \frac{49a}{b} \cdot b
\]

Получаем:

\[
4b = 49a
\]

Поделим обе части на 49, чтобы выразить "a":

\[
\frac{4b}{49} = a
\]

5. Теперь, когда мы нашли значение "a", мы можем рассчитать площадь треугольника MPK. Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

\[
\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

В данном случае, основанием треугольника является сторона MK, а высоту треугольника можно найти, зная длину отрезка MR, который является биссектрисой и делит треугольник на две равные части.

Таким образом, площадь треугольника MPK будет равна:

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{1}{2} \times MK \times MR
\]

Подставим значения, которые уже вычислили:

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{1}{2} \times (b + \frac{4b}{49}) \times \frac{b}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{1}{2} \times \frac{49b + 4b}{49} \times \frac{b}{2}
\]

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{1}{4 \times 49} \times (49b + 4b) \times b
\]

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{1}{196} \times 53b \times b
\]

\[
\text{Площадь треугольника MPK} = \frac{53}{196} \times b^2
\]

Таким образом, площадь треугольника MPK равна \(\frac{53}{196} \times b^2\), где "b" - длина отрезка KR.