Какова площадь треугольника, у которого периметр равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него

Антонович

1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать знания о свойствах треугольников, периметре и радиусе вписанной окружности.

Для начала, давайте выразим вторую сторону треугольника через заданные параметры. Пусть вторая сторона равна \(b\), а третья сторона равна \(c\). Таким образом, у нас имеется треугольник со сторонами 20, \(b\) и \(c\), а его периметр равен 50. Из определения периметра мы знаем, что сумма длин всех трех сторон равна периметру. Поэтому можем записать уравнение:

\[20 + b + c = 50\]

Теперь нам нужно использовать свойство вписанной окружности. Радиус вписанной окружности является расстоянием от центра окружности до каждой из сторон треугольника. Обозначим радиус вписанной окружности через \(r\). Тогда по теореме о радиусе окружности, проведенном к стороне треугольника, мы знаем, что:

\[r = \frac{{\text{площадь треугольника}}}{{\text{полупериметр треугольника}}}}\]

Наша цель - найти площадь треугольника, поэтому давайте найдем полупериметр треугольника, используя полученное уравнение для периметра:

\[\frac{{20 + b + c}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25\]

Имея полупериметр, мы можем выразить площадь треугольника через радиус вписанной окружности. Формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр гласит:

\[S = r \cdot \text{полупериметр}\]

Подставим известные значения:

\[S = r \cdot 25\]

Но у нас неизвестное значение радиуса вписанной окружности, которое нужно найти. Для этого возьмем формулу площади треугольника через стороны:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр, а \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника.

Подставим известные значения и найдем значение площади треугольника:

\[S = \sqrt{25(25-20)(25-b)(25-c)}\]

Теперь у нас есть два уравнения: одно для площади через радиус вписанной окружности и полупериметр, а другое для площади через стороны треугольника. Поскольку оба уравнения описывают одну и ту же площадь, мы можем приравнять их:

\[r \cdot 25 = \sqrt{25(25-20)(25-b)(25-c)}\]

Получив это уравнение, мы можем решить его относительно неизвестных значений сторон \(b\) и \(c\). После нахождения значений сторон, мы сможем найти значение радиуса вписанной окружности и вычислить площадь треугольника с помощью любой из двух формул, которые мы использовали ранее.

Итак, давайте рассчитаем значения сторон \(b\) и \(c\) из уравнения:

\[r \cdot 25 = \sqrt{25(25-20)(25-b)(25-c)}\]

Обратите внимание, что произведение круглых термов внутри корня должно быть положительным, поскольку площадь треугольника всегда положительна.