Какова площадь впрямоугольного треугольника, если сумма длин катетов составляет 18 см, а длина гипотенузы

Магический_Кристалл

51

Для решения этой задачи нам будет полезна формула площади впрямоугольного треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2\]

Мы знаем, что сумма длин катетов составляет 18 см, то есть:

\[катет_1 + катет_2 = 18\]

Также известно, что длина гипотенузы треугольника составляет 16 см. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[катет_1^2 + катет_2^2 = гипотенуза^2\]

В нашем случае это будет:

\[катет_1^2 + катет_2^2 = 16^2\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
катет_1 + катет_2 &= 18 \\
катет_1^2 + катет_2^2 &= 16^2
\end{align*}
\]

Отлично, теперь давайте решим эту систему уравнений.

Мы можем решить первое уравнение относительно одного из катетов. Пусть это будет \(катет_1\):

\[катет_1 = 18 - катет_2\]

Теперь мы можем подставить это значение \(катет_1\) во второе уравнение:

\[(18 - катет_2)^2 + катет_2^2 = 16^2\]

Раскроем скобки:

\[катет_1^2 - 2 \cdot 18 \cdot катет_2 + катет_2^2 + катет_2^2 = 256\]

Упростим:

\[2 \cdot катет_2^2 - 36 \cdot катет_2 + 68 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = (-36)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 68\]

\[D = 1296 - 544\]

\[D = 752\]

Дискриминант \(D\) равен 752. Так как \(D > 0\), у нас есть два различных решения.

\[катет_2 = \frac{-(-36) + \sqrt{752}}{2 \cdot 2}\]
\[катет_2 = \frac{36 + \sqrt{752}}{4}\]
\[катет_2 \approx 15.47\]

\[катет_1 = 18 - катет_2\]
\[катет_1 \approx 2.53\]

Теперь, когда у нас есть значения катетов, мы можем найти площадь впрямоугольного треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2\]
\[Площадь \approx \frac{1}{2} \cdot 2.53 \cdot 15.47\]
\[Площадь \approx 19.61\]

Таким образом, площадь впрямоугольного треугольника в данной задаче равна примерно 19.61 квадратным сантиметрам.