Какова площадь всей поверхности конуса, если его основание наклонено к плоскости под углом 60°, и в его основание

Svetlyachok

19

Для решения этой задачи, нам потребуется знание основ геометрии и формул.

Давайте начнем с определения площади поверхности конуса. Площадь поверхности конуса состоит из двух составляющих: площади основания и площади боковой поверхности. Формула для вычисления площади поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Для нахождения площади основания конуса нам нужно знать форму основания и его размеры. В данной задаче основание - вписанный треугольник, и мы знаем одну сторону (19 см) и противолежащий угол (30°).

Формула для вычисления площади треугольника по заданной стороне и противолежащему углу (тангенсу) выглядит следующим образом:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C\]

где \(a\) - заданная сторона, \(b\) - другая сторона, \(C\) - противолежащий угол.

В нашем случае задана одна сторона треугольника (19 см), противолежащий угол (30°), и нам нужно найти другую сторону треугольника (\(b\)). Применим формулу так, чтобы найти \(b\):

\[b = \frac{S_{\text{треуг}}}{\frac{1}{2} \times a \times \sin C}\]

Теперь мы можем рассчитать площадь основания конуса, зная найденную величину \(b\) и единственную заданную сторону \(a\) (19 см):

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

А теперь перейдем к рассчету площади боковой поверхности конуса. Она представляет собой площadь всех треугольников, образующих боковую поверхность конуса.

В данной задаче основание наклонено к плоскости под углом 60°. Чтобы найти сторону \(b\) всех треугольников, образующих боковую поверхность, нам нужно применить формулу \(b = a \times \cos 60°\), так как косинус 60° равен 0.5.

Теперь, когда мы знаем все значения сторон треугольников боковой поверхности конуса, мы можем рассчитать их площади \(S_t\) по формуле, которую мы использовали ранее:

\[S_t = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, мы должны сложить площади всех этих треугольников:

\[S_{\text{бок}} = n \times S_t\]

где \(n\) - количество треугольников, образующих боковую поверхность конуса. В данной задаче количество треугольников равно степени наклона основания конуса, поэтому \(n = 360° / 60° = 6\).

Теперь у нас есть все необходимые формулы и значения, чтобы решить задачу. Давайте приступим к расчетам:

1. Найдем сторону \(b\) треугольника:
\[b = \frac{S_{\text{треуг}}}{\frac{1}{2} \times a \times \sin C}\]
\[b = \frac{\frac{1}{2} \times 19 \times b}{\frac{1}{2} \times 19 \times \sin 30°}\]
\[b = \frac{b}{\sin 30°}\]
\[b = \frac{19}{\frac{1}{2}}\]
\[b = 38 \text{ см}\]

2. Рассчитаем площадь основания конуса:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 19 \times 38\]
\[S_{\text{осн}} = 19 \times 19\]
\[S_{\text{осн}} = 361 \text{ см}^2\]

3. Рассчитаем площадь треугольника боковой поверхности (\(S_t\)):
\[S_t = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C\]
\[S_t = \frac{1}{2} \times 19 \times 38 \times \sin 30°\]
\[S_t = \frac{1}{2} \times 19 \times 38 \times 0.5\]
\[S_t = 361 \text{ см}^2\]

4. Рассчитаем площадь боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бок}} = n \times S_t\]
\[S_{\text{бок}} = 6 \times 361\]
\[S_{\text{бок}} = 2166 \text{ см}^2\]

5. Итак, площадь всей поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
\[S = 361 + 2166\]
\[S = 2527 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь всей поверхности конуса, если его основание наклонено к плоскости под углом 60° и в его основание вписан треугольник с одной стороной длиной 19 см и противолежащим углом 30°, равна 2527 квадратных сантиметров.