Какова площадь всей поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с A1C1=8, B1D1=6, A1A=7 и верхним основанием

Ярус

3

Хорошо, давайте решим задачу о площади поверхности прямого параллелепипеда.

Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 представляет собой прямоугольный параллелепипед с верхним основанием в форме ромба A1B1C1D1. По условию, мы знаем, что A1C1 = 8, B1D1 = 6 и A1A = 7.

Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, мы должны найти сумму площадей всех его граней. Параллелепипед имеет 6 граней, и каждая из них имеет свою площадь.

Начнем с разбора граней основания. Верхнее основание A1B1C1D1 является ромбом, поэтому его площадь можно найти, зная длину его диагоналей. Для ромба площадь равна половине произведения длин его диагоналей. Давайте найдем длины диагоналей ромба A1B1C1D1.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников A1AD1 и A1B1C1. В треугольнике A1AD1, A1A является одной из сторон, а A1D1 и AD1 являются диагоналями (первая диагональ параллелепипеда и диагональ основания).

Известно, что A1A = 7. Теперь найдем длину диагонали A1D1. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, зная, что A1D1 — это гипотенуза треугольника A1AD1, а A1A и AD1 — его катеты. Таким образом, получаем:

\[A1D1 = \sqrt{A1A^2 + AD1^2} = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}\]

Теперь, зная длину диагонали A1D1, мы можем найти длину диагонали A1B1, которая равна A1D1, так как противоположные диагонали ромба равны. Следовательно, диагонали A1B1C1D1 имеют длину \(\sqrt{113}\).

Теперь мы можем вычислить площадь ромба A1B1C1D1. По формуле для площади ромба, она равна половине произведения длин его диагоналей:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{113} \cdot \sqrt{113} = \frac{1}{2} \cdot 113 = 56.5\]

Теперь перейдем к вычислению площадей боковых граней параллелепипеда. У нас есть 4 боковые грани ABCD, A1B1C, A1D1D и B1C1D1. Все эти грани являются прямоугольниками.

Грань ABCD имеет длину AB = A1B1 = 6 и ширину BC = CD = A1C1 = 8, поэтому ее площадь равна:

\[S_{ABCD} = AB \cdot BC = 6 \cdot 8 = 48\]

Грань A1B1C имеет длину A1C1 = 8 и ширину A1B1 = 6, поэтому ее площадь равна:

\[S_{A1B1C} = A1C1 \cdot A1B1 = 8 \cdot 6 = 48\]

Грань A1D1D имеет длину A1A = 7 и ширину A1D1, которую мы уже рассчитали как \(\sqrt{113}\). Поэтому ее площадь равна:

\[S_{A1D1D} = A1A \cdot A1D1 = 7 \cdot \sqrt{113}\]

Наконец, грань B1C1D1 имеет длину B1D1 = 6 и ширину B1C1 = 8, а значит, ее площадь равна:

\[S_{B1C1D1} = B1D1 \cdot B1C1 = 6 \cdot 8 = 48\]

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности прямого параллелепипеда, сложив площади всех его граней:

\[S = 2 \cdot S_1 + S_{ABCD} + S_{A1B1C} + S_{A1D1D} + S_{B1C1D1} = 2 \cdot 56.5 + 48 + 48 + 7 \cdot \sqrt{113} + 48 \approx 215 + 7 \cdot \sqrt{113}\]

Таким образом, площадь поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна приблизительно \(215 + 7 \cdot \sqrt{113}\).