Какова площадь закрашенной области, представленной на изображении сектора круга, в котором центр находится в точке

Lisa

19

Хорошо, чтобы найти площадь закрашенной области, нам нужно сначала найти площадь всего сектора круга, а затем вычесть площадь треугольника ODС от этой суммы. Давайте начнем с поиска площади всего сектора круга.

Площадь сектора круга можно найти, используя формулу:

\[S = \frac{{\theta}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2\]

где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол сектора, \(r\) - радиус круга, а \(\pi\) - это математическая константа, приближенно равная 3.14159.

В нашем случае, у нас есть \(\theta = 45^{\circ}\) и \(r = 4\) см. Подставим эти значения в формулу:

\[S = \frac{{45^{\circ}}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 4^2\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[S = \frac{45}{360} \cdot 3.14159 \cdot 4^2\]

\[S = \frac{1}{8} \cdot 3.14159 \cdot 16\]

\[S = \frac{1}{8} \cdot 50.26544\]

\[S \approx 6.28318\]

Таким образом, площадь всего сектора круга составляет приблизительно 6.28318 квадратных сантиметров.

Теперь давайте найдем площадь треугольника ODС. Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height\]

В нашем случае, основание треугольника ODС равно \(OD = 2\) см, а высота треугольника равна \(r = 4\) см.

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\]

\[S = 4\]

Таким образом, площадь треугольника ODС составляет 4 квадратных сантиметра.

Теперь, чтобы найти площадь закрашенной области, мы вычитаем площадь треугольника ODС из площади всего сектора:

Площадь закрашенной области \(= 6.28318 - 4\)

Получаем:

Площадь закрашенной области \(= 2.28318\) квадратных сантиметра.

Таким образом, площадь закрашенной области, представленной на изображении сектора круга, равна приблизительно 2.28318 квадратных сантиметра.