Какова плотность планеты, если спутник движется по орбите радиусом 6209 м и скоростью 40 км/с, а радиус планеты

Romanovich

9

Подсчет плотности планеты требует использования закона всемирного тяготения и формулы для плотности. Давайте начнем с подсчета массы планеты, используя скорость спутника и радиус его орбиты.

Согласно закону всемирного тяготения, центростремительное ускорение спутника можно найти с использованием следующей формулы:

\[ a = \frac{{v^2}}{{r}} \]

где \( a \) - центростремительное ускорение спутника, \( v \) - скорость спутника, \( r \) - радиус орбиты спутника.

Мы знаем, что скорость спутника \( v = 40 \, \text{км/с} = 40000 \, \text{м/с} \) и радиус орбиты \( r = 6209 \, \text{м} \). Подставим эти значения в формулу:

\[ a = \frac{{(40000 \, \text{м/с})^2}}{{6209 \, \text{м}}} \]

Теперь, чтобы найти массу планеты, мы можем использовать следующую формулу, связывающую центростремительное ускорение и гравитационную силу:

\[ a = \frac{{GM}}{{r^2}} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная и \( M \) - масса планеты.

Мы знаем, что радиус планеты составляет \( 4 \times 10^8 \) и единицы измерения у радиуса орбиты спутника и радиуса планеты совпадают (м). Мы также знаем, что \( a \) равно значению, которое мы нашли ранее. Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{{(40000 \, \text{м/с})^2}}{{6209 \, \text{м}}} = \frac{{G \cdot M}}{{(4 \times 10^8 \, \text{м})^2}} \]

Мы можем решить это уравнение относительно \( M \). Сначала упростим числитель:

\[ 640000000 \, \text{м}^2/\text{с}^2 = \frac{{G \cdot M}}{{(4 \times 10^8 \, \text{м})^2}} \]

Теперь умножим обе стороны на квадрат радиуса:

\[ 640000000 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \cdot (4 \times 10^8 \, \text{м})^2 = G \cdot M \]

Выполнив указанные вычисления, мы получим:

\[ 102400000000000000 \, \text{м}^2/\text{с}^2 = G \cdot M \]

Теперь разделим обе стороны на значение гравитационной постоянной \( G \), которую можно найти в справочных данных с точностью до знаков после запятой:

\[ M = \frac{{102400000000000000 \, \text{м}^2/\text{с}^2}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)}} \]

Выполнив указанные вычисления, мы найдем массу планеты. Это будет значение массы в килограммах.

В итоге, чтобы найти плотность планеты, мы можем использовать формулу для плотности, которая определяется как отношение массы к объему:

\[ \text{Плотность} = \frac{{M}}{{V}} \]

где \( M \) - масса планеты, \( V \) - объем планеты.

Объем планеты можно найти, используя формулу для объема сферы:

\[ V = \frac{{4}{\pi}{r^3}}{3} \]

где \( r \) - радиус планеты.

Подставив значения, которые мы нашли ранее, можно посчитать плотность планеты.