Какова плотность планеты, если спутник движется по орбите радиусом 6209 м и скоростью 40 км/с, а радиус планеты

Romanovich

9

Подсчет плотности планеты требует использования закона всемирного тяготения и формулы для плотности. Давайте начнем с подсчета массы планеты, используя скорость спутника и радиус его орбиты.

Согласно закону всемирного тяготения, центростремительное ускорение спутника можно найти с использованием следующей формулы:

$$a=\frac{v^2}{r}$$

где $a$ - центростремительное ускорение спутника, $v$ - скорость спутника, $r$ - радиус орбиты спутника.

Мы знаем, что скорость спутника $v=40\text{км/с}=40000\text{м/с}$ и радиус орбиты $r=6209\text{м}$. Подставим эти значения в формулу:

$$a=\frac{(40000\text{м/с}{)}^2}{6209\text{м}}$$

Теперь, чтобы найти массу планеты, мы можем использовать следующую формулу, связывающую центростремительное ускорение и гравитационную силу:

$$a=\frac{GM}{r^2}$$

где $G$ - гравитационная постоянная и $M$ - масса планеты.

Мы знаем, что радиус планеты составляет $4\times {10}^8$ и единицы измерения у радиуса орбиты спутника и радиуса планеты совпадают (м). Мы также знаем, что $a$ равно значению, которое мы нашли ранее. Подставим эти значения в формулу:

$$\frac{(40000\text{м/с}{)}^2}{6209\text{м}}=\frac{G\cdot M}{(4\times {10}^8\text{м}{)}^2}$$

Мы можем решить это уравнение относительно $M$. Сначала упростим числитель:

$$640000000{\text{м}}^2/{\text{с}}^2=\frac{G\cdot M}{(4\times {10}^8\text{м}{)}^2}$$

Теперь умножим обе стороны на квадрат радиуса:

$$640000000{\text{м}}^2/{\text{с}}^2\cdot (4\times {10}^8\text{м}{)}^2=G\cdot M$$

Выполнив указанные вычисления, мы получим:

$$102400000000000000{\text{м}}^2/{\text{с}}^2=G\cdot M$$

Теперь разделим обе стороны на значение гравитационной постоянной $G$, которую можно найти в справочных данных с точностью до знаков после запятой:

$$M=\frac{102400000000000000{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}{6.67430\times {10}^{-11}{\text{м}}^3/(\text{кг}\cdot {\text{с}}^2)}$$

Выполнив указанные вычисления, мы найдем массу планеты. Это будет значение массы в килограммах.

В итоге, чтобы найти плотность планеты, мы можем использовать формулу для плотности, которая определяется как отношение массы к объему:

$$\text{Плотность}=\frac{M}{V}$$

где $M$ - масса планеты, $V$ - объем планеты.

Объем планеты можно найти, используя формулу для объема сферы:

$$V=\frac{4\pi r^3}{3}$$

где $r$ - радиус планеты.

Подставив значения, которые мы нашли ранее, можно посчитать плотность планеты.