Какова полная поверхность прямого параллелепипеда, основанием которого является ромб с большей диагональю длиной

Михаил

41

Чтобы найти полную поверхность прямого параллелепипеда, нужно сначала найти все его стороны.

Задача говорит, что основание параллелепипеда является ромбом. Нам дана длина большей диагонали ромба, равная 4 корня из 3 см. Так как ромб имеет равные диагонали, меньшая диагональ ромба тоже будет равна 4 корня из 3 см.

Дальше нам сказано, что меньшая диагональ ромба образует угол 60 градусов с плоскостью основания параллелепипеда. Заметим, что угол между плоскостью основания и боковой стороной параллелепипеда (в данном случае ромбом) всегда будет прямым. Таким образом, мы имеем два прямых угла: 90 градусов между диагональю ромба и плоскостью основания, и 60 градусов между меньшей диагональю ромба и плоскостью основания.

Теперь мы можем найти стороны основания параллелепипеда, используя тригонометрические соотношения. Пусть \(a\) и \(b\) - стороны основания параллелепипеда. Тогда:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{a}{4\sqrt{3}} \Rightarrow a = 4\sqrt{3}\sin(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6
\]

Также, используя те же соотношения, мы можем найти высоту параллелепипеда:

\[
\cos(60^\circ) = \frac{h}{4\sqrt{3}} \Rightarrow h = 4\sqrt{3}\cos(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}
\]

Таким образом, мы получили, что стороны основания равны \(a = 6\) см, \(b = 6\) см, а высота равна \(h = 2\sqrt{3}\) см.

Теперь мы можем найти полную поверхность параллелепипеда. Полная поверхность состоит из двух оснований и четырех боковых сторон. Площадь каждого основания равна \(S_{\text{осн}} = ab = 6 \cdot 6 = 36\) квадратных сантиметров.

Площадь каждой боковой стороны равна \(S_{\text{бок}} = bh = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Таким образом, полная поверхность параллелепипеда будет:

\[
S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + 4S_{\text{бок}} = 2 \cdot 36 + 4 \cdot 12\sqrt{3} = 72 + 48\sqrt{3} \approx 161.39 \, \text{см}^2
\]

Значит, полная поверхность этого параллелепипеда равна примерно 161.39 квадратных сантиметра.