Какова полная поверхность усеченной правильной четырехугольной пирамиды, если стороны ее оснований равны 2 и

Valentinovna

64

Давайте решим задачу о полной поверхности усеченной правильной четырехугольной пирамиды. У нас есть основание с равными сторонами 2 и 4, и боковая грань, которая наклонена к плоскости основания. Мы хотим найти полную поверхность пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические формулы.

Первым шагом нам нужно найти высоту пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого.

Построим прямоугольный треугольник, у которого сторона 2 будет основанием, а сторона 4 будет биссектрисой этого треугольника. Пусть этот треугольник ABC будет таким, что сторона AB = 2, сторона BC = 4 и сторона AC будет высотой пирамиды.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти сторону AC:

\[AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Теперь мы знаем высоту пирамиды равна \(2\sqrt{3}\).

Далее, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}\]

Поскольку у нас усеченная пирамида, периметр основания будет равен сумме длин сторон основания. В нашем случае, периметр будет равен \(2+2+4+4 = 12\).

Теперь, зная периметр и высоту, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(12\sqrt{3}\).

Наконец, чтобы найти полную поверхность пирамиды, мы должны добавить площадь основания. Поскольку основание является четырехугольником, мы можем разделить его на два треугольника и вычислить их площади отдельно.

Первый треугольник имеет высоту \(2\sqrt{3}\), основание \(2\) и площадь:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\]

Второй треугольник имеет высоту \(2\sqrt{3}\), основание \(4\) и площадь:

\[S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь основания равна \(S_{\text{осн}} = S_1 + S_2 = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Наконец, для вычисления полной поверхности пирамиды, мы должны сложить площадь боковой поверхности и площадь основания:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 12\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\].

Таким образом, полная поверхность усеченной правильной четырехугольной пирамиды равна \(18\sqrt{3}\).