Каков объем тела, полученного при повороте прямоугольного треугольника с катетом длиной 4 см и прилежащим углом

Винтик

35

Для решения этой задачи об объеме тела, образованного вращением прямоугольного треугольника, нам потребуется использовать формулу для объема вращения.

В данном случае, прямоугольный треугольник имеет катет длиной 4 см и прилежащий угол 60 градусов. Мы хотим найти объем тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг его более длинного катета.

Для начала, нам нужно вычислить длину гипотенузы треугольника. В данном случае, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас известны длины обоих катетов треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника. Заменяя известные значения, получим:

\[c^2 = 4^2 + 4^2\]
\[c^2 = 16 + 16\]
\[c^2 = 32\]
\[c = \sqrt{32}\]

Теперь, когда у нас есть длина гипотенузы, мы можем перейти к вычислению объема тела, образованного вращением.

Формула для объема вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Где \(V\) - объем, \(\pi\) - число пи (примерно 3.14), \(r\) - радиус (в данном случае половина длины гипотенузы), \(h\) - длина катета (в данном случае 4 см).

Используя найденное значение длины гипотенузы, можем найти радиус:

\[r = \frac{c}{2}\]

Подставим значения:

\[r = \frac{\sqrt{32}}{2}\]

Теперь мы можем рассчитать объем:

\[V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2 \cdot 4\]

Подсчитаем значение выражения в скобках:

\[\left(\frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2 = \frac{32}{4} = 8\]

Итак, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника, составляет:

\[V = \pi \cdot 8 \cdot 4\]

Умножим значения:

\[V = 32 \pi\]

Таким образом, объем тела, образованного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 4 см и прилежащим углом 60 градусов вокруг его более длинного катета, равен \(32 \pi\) (кубических сантиметров).