Каковы значения катетов и площади впрямоугольного треугольника с углом в 45° и гипотенузой, равной

Robert

19

Для решения задачи о впрямоугольном треугольнике с углом в 45° и известной гипотенузе необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами равнобедренного треугольника.

По определению впрямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим длину гипотенузы через \(c\) и длины катетов через \(a\) и \(b\).

Таким образом, имеем уравнение:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

У нас также имеется равнобедренный треугольник с углом в 45°. В равнобедренном треугольнике длина основания (катета) равна длине боковой стороны. Обозначим длину катета через \(x\).

Получаем следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} a^2 + b^2 = c^2 \\ a = b = x \end{cases}\]

Так как угол в 45°, то длины катетов равны, то есть \(a = b = x\). Подставим это в систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + x^2 = c^2 \\ a = b = x \end{cases}\]

Упрощаем уравнение:
\[2x^2 = c^2\]

Теперь найдем значения катетов и площадь треугольника. Для этого решим уравнение относительно длины гипотенузы \(c\):

\[c = \sqrt{2x^2}\]

Затем, подставим найденное значение гипотенузы в уравнение для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения длин катетов, то есть:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Теперь, когда мы знаем значения катетов \(a\) и \(b\),а их значения были равны длине основания \(x\), можем найти площадь треугольника \(S\) с помощью следующей формулы:
\[S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x\]

Помни, что катеты и площадь треугольника должны быть положительными числами, поэтому в ответе нужно использовать положительные значения \(x\) и \(S\).