Какова предельная абсолютная погрешность измерения плотности цилиндра, если его объем равен (105 ± 1) · 102 мм3

Лев

19

Чтобы определить предельную абсолютную погрешность измерения плотности цилиндра, мы должны использовать формулу для плотности. Плотность (ρ) определяется как отношение массы (m) к объему (V) объекта:

\[
\rho = \frac{m}{V}
\]

Где:
- \(\rho\) - плотность
- \(m\) - масса
- \(V\) - объем

В данной задаче, у нас есть значения для массы и объема цилиндра, указанные с использованием погрешности. Масса цилиндра составляет (85,2 ± 0,6) грамма, а его объем равен (105 ± 1) · 102 мм3.

Для того чтобы найти предельную абсолютную погрешность, мы будем использовать метод распространения погрешности. Для этого мы должны учитывать формулу для плотности и погрешности массы и объема:

\[
\Delta \rho = \sqrt{\left(\frac{\partial \rho}{\partial m} \cdot \Delta m\right)^2 + \left(\frac{\partial \rho}{\partial V} \cdot \Delta V\right)^2}
\]

Где:
- \(\Delta \rho\) - предельная абсолютная погрешность плотности
- \(\Delta m\) - погрешность массы
- \(\Delta V\) - погрешность объема

Теперь мы найдем частные производные для \(\frac{\partial \rho}{\partial m}\) и \(\frac{\partial \rho}{\partial V}\):

\[
\frac{\partial \rho}{\partial m} = \frac{1}{V}
\]

\[
\frac{\partial \rho}{\partial V} = -\frac{m}{V^2}
\]

Теперь, подставив значения всех переменных в формулу для предельной абсолютной погрешности, получим:

\[
\Delta \rho = \sqrt{\left(\frac{1}{(105 ± 1) \cdot 10^2} \cdot (0,6)\right)^2 + \left(-\frac{85,2 ± 0,6}{(105 ± 1) \cdot 10^2}^2 \cdot (1)\right)^2}
\]

Для удобства вычислений, давайте сначала упростим формулу, заменив значения с погрешностью в формуле:

\[
\Delta \rho = \sqrt{\left(\frac{1}{10600} \cdot 0,6\right)^2 + \left(-\frac{85,2}{10600}^2 \cdot 1\right)^2}
\]

Теперь вычислим это математическое выражение:

\[
\Delta \rho = \sqrt{\left(\frac{0,6}{10600}\right)^2 + \left(-\frac{85,2}{10600}\right)^2}
\]

\[
\Delta \rho = \sqrt{\left(\frac{0,6}{10600}\right)^2 + \left(\frac{85,2}{10600}\right)^2}
\]

\[
\Delta \rho = \sqrt{3,578 \cdot 10^{-8} + 0,006 \cdot 10^{-8}}
\]

\[
\Delta \rho = \sqrt{3,584 \cdot 10^{-8}}
\]

\[
\Delta \rho \approx 1,89 \cdot 10^{-4}
\]

Таким образом, предельная абсолютная погрешность измерения плотности цилиндра составляет около \(1,89 \cdot 10^{-4}\) г/мм³.