Какова продолжительность орбитального обращения Урана вокруг Солнца при большой полуоси в 19,2 астрономических единицы?

Sladkiy_Assasin

3

Чтобы найти продолжительность орбитального обращения Урана вокруг Солнца, мы можем использовать закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты.

Период обращения планеты можно найти по формуле:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G M_{\odot}}} \]

Где:
\( T \) - период обращения планеты,
\( a \) - большая полуось орбиты,
\( G \) - гравитационная постоянная (примерное значение \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / \text{кг} \, \text{с}^{-2} \)),
\( M_{\odot} \) - масса Солнца (примерное значение \( 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг} \)).

В данной задаче большая полуось орбиты Урана равна 19,2 астрономическим единицам. Однако, для дальнейших расчетов, нам потребуется преобразовать эту величину в метры. За единицу в данном случае возьмем 1 астрономическую единицу, которая равна примерно 149,6 миллионам километров, или \( 1.496 \times 10^{11} \) метров.

Таким образом, чтобы найти продолжительность орбитального обращения Урана вокруг Солнца, подставим все известные значения в формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(19,2 \times 1,496 \times 10^{11})^3}{6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}} \]

Теперь, давайте решим эту формулу пошагово:

1. Возводим большую полуось орбиты в куб:
\[
(19,2 \times 1,496 \times 10^{11})^3 = (1,454 \times 10^{12})^3
\]

2. Умножаем полученное значение на гравитационную постоянную:
\[
(1,454 \times 10^{12})^3 \times 6.674 \times 10^{-11} = 1,632 \times 10^{34} \, \text{м}^3 / \text{с}^2
\]

3. Умножаем полученное значение на массу Солнца:
\[
1,632 \times 10^{34} \times 1.989 \times 10^{30} = 3,245 \times 10^{64} \, \text{м}^3 / \text{с}^2 \times \text{кг}
\]

4. Извлекаем квадратный корень из полученного значения:
\[
\sqrt{3,245 \times 10^{64}} = 5,695 \times 10^{32} \, \text{м} / \text{с}
\]

5. Умножаем полученное значение на \( 2\pi \):
\[
2\pi \times 5,695 \times 10^{32} = 3,585 \times 10^{33} \, \text{м} / \text{с}
\]

Таким образом, продолжительность орбитального обращения Урана вокруг Солнца при большой полуоси в 19,2 астрономических единицы составляет примерно \( 3,585 \times 10^{33} \) метров в секунду.