Какова работа, которую газ выполняет в процессе сжатия, когда его объем изменяется с v1 до v2, а давление меняется

Ветерок

62

Для решения этой задачи нам необходимо определить работу \(W\), которую газ выполняет в процессе сжатия, когда его объем изменяется с \(v_1\) до \(v_2\), а давление меняется в соответствии с законом \(p \sim \frac{1}{v^2}\).

Работу можно вычислить, используя следующую формулу:

\[W = - \int_{v_1}^{v_2} p \cdot dV\]

где \(p\) - давление газа, а \(dV\) - бесконечно малый изменение объема газа.

Поскольку у нас задано, что \(p \sim \frac{1}{v^2}\), мы можем выразить давление в зависимости от объема газа следующим образом:

\[p = \frac{C}{v^2}\]

где \(C\) - постоянная.

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для работы и интегрировать:

\[W = - \int_{v_1}^{v_2} \frac{C}{v^2} \cdot dV\]

Для интегрирования этой функции нам потребуется заменить переменные. Пусть \(u = v^2\), тогда \(du = 2v \cdot dv\). Мы также должны изменить пределы интегрирования:

\[W = - \int_{u_1}^{u_2} \frac{C}{u} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}}\]

\[W = - \frac{C}{2} \int_{u_1}^{u_2} \frac{du}{\sqrt{u}}\]

\[W = - \frac{C}{2} \left[2\sqrt{u}\right]_{u_1}^{u_2}\]

\[W = - C \left(\sqrt{u_2} - \sqrt{u_1}\right)\]

Вспомним, что мы выбрали \(u = v^2\) в качестве замены переменных:

\[W = - C \left(\sqrt{v_2^2} - \sqrt{v_1^2}\right)\]

\[W = - C \left(v_2 - v_1\right)\]

Теперь мы должны найти значение постоянной \(C\). Для этого мы можем использовать информацию о давлении газа при начальном объеме \(v_1\) и конечном объеме \(v_2\). Давление газа обратно пропорционально квадрату объема:

\[p_1 \cdot v_1^2 = p_2 \cdot v_2^2\]

Мы знаем, что \(p_1 \sim \frac{1}{v_1^2}\) и \(p_2 \sim \frac{1}{v_2^2}\), поэтому:

\[\frac{1}{v_1^2} \cdot v_1^2 = \frac{1}{v_2^2} \cdot v_2^2\]

\[1 = 1\]

Отсюда следует, что значение постоянной \(C\) равно 1:

\[W = - \left(v_2 - v_1\right)\]

Таким образом, работа, которую газ выполняет в процессе сжатия, когда его объем изменяется с \(v_1\) до \(v_2\), а давление меняется в соответствии с законом \(p \sim \frac{1}{v^2}\), равна \(- \left(v_2 - v_1\right)\).