Какова работа, совершаемая газом при его расширении от объема 3 м3 до объема 4 м3, если давление газа меняется

Тигр

8

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить работу, совершаемую газом при изменении его объема.

Закон, описывающий изменение давления газа, задан как \(p = p_0^{-a(v - v_0)}\), где \(p_0\) равно начальному давлению газа, а \(a\) — коэффициент, равный 0,2 м\(^{-3}\).

Из условия задачи известно, что начальный объем газа \(v_0 = 3 \, \text{м}^3\), а конечный объем \(v = 4 \, \text{м}^3\).

Теперь мы можем рассчитать работу газа при его изменении объема с помощью следующего выражения:

\[W = \int_{v_0}^{v} p \, \text{d}v\]

Давайте подставим известные значения и вычислим этот интеграл.

\[W = \int_{3}^{4} p_0^{-a(v - v_0)} \, \text{d}v\]

Сначала выведем этот интеграл, заменив \(p_0\) и \(a\) на известные значения:

\[W = p_0^{-a} \int_{3}^{4} (v - v_0)^{-a} \, \text{d}v\]

Теперь выполним интегрирование:

\[W = p_0^{-a} \left[ \frac{{(v - v_0)^{1 - a}}}{{1 - a}} \right] \Bigg|_{3}^{4}\]

\[W = p_0^{-a} \left[ \frac{{(4 - v_0)^{1 - a}}}{{1 - a}} - \frac{{(3 - v_0)^{1 - a}}}{{1 - a}} \right]\]

Подставим значения \(p_0 = 6 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(a = 0,2 \, \text{м}^{-3}\), \(v_0 = 3 \, \text{м}^3\) и \(v = 4 \, \text{м}^3\) в полученное выражение и произведем вычисления:

\[W = (6 \times 10^5)^{-0,2} \left[ \frac{{(4 - 3)^{1 - 0,2}}}{{1 - 0,2}} - \frac{{(3 - 3)^{1 - 0,2}}}{{1 - 0,2}} \right]\]

\[W = (6 \times 10^5)^{-0,2} \left[ \frac{{1^{0,8}}}{{0,8}} - \frac{{0^{0,8}}}{{0,8}} \right]\]

\[W = (6 \times 10^5)^{-0,2} \cdot \frac{{1 - 0}}{{0,8}}\]

\[W = (6 \times 10^5)^{-0,2} \cdot \frac{{1}}{{0,8}}\]

\[W \approx 2,064 \times 10^5 \, \text{Дж}\]

Таким образом, работа, совершаемая газом при его расширении от объема 3 м\(^3\) до объема 4 м\(^3\), составляет примерно 206 400 Дж.