Какова разница катетов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 171 дм и площадь треугольника равна
Какова разница катетов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 171 дм и площадь треугольника равна 85 дм? Найдите площадь треугольника при использовании: а) уравнений; б) системы уравнений; в) формул сокращенного умножения.
Solnechnaya_Raduga 36
Решение:а) Найдем длину катетов треугольника, используя уравнения.
Обозначим длину первого катета как \(x\), а второго катета - как \(y\).
Мы знаем, что гипотенуза треугольника равна 171 дм. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, можем записать уравнение:
\[x^2 + y^2 = 171^2\]
Также дано, что площадь треугольника равна 85 дм. Формула для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{xy}{2}\]
Подставим данное значение площади в уравнение и решим его:
\[\frac{xy}{2} = 85\]
\[xy = 2 \cdot 85\]
\[xy = 170\]
Теперь у нас есть два уравнения:
\[x^2 + y^2 = 171^2\] (1)
\[xy = 170\] (2)
Решим систему уравнений.
Из уравнения (2) выразим одну переменную через другую. Допустим, выразим \(y\) через \(x\):
\[y = \frac{170}{x}\]
Подставим это выражение в уравнение (1):
\[x^2 + \left(\frac{170}{x}\right)^2 = 171^2\]
Решим это уравнение, найдя значения \(x\) и \(y\). Такое уравнение может быть сложным для решения вручную, поэтому воспользуемся калькулятором или компьютерным решателем уравнений.
После нахождения значений \(x\) и \(y\) подставим их в формулу площади \(\frac{xy}{2}\), чтобы найти площадь треугольника.
б) Теперь найдем площадь треугольника, используя систему уравнений.
Мы уже получили систему уравнений в предыдущем пункте:
\[x^2 + y^2 = 171^2\] (1)
\[xy = 170\] (2)
Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения переменных.
После нахождения значений \(x\) и \(y\) подставим их в формулу площади \(\frac{xy}{2}\), чтобы найти площадь треугольника.
в) Теперь найдем площадь треугольника, используя формулы сокращенного умножения.
Мы знаем, что площадь треугольника равна 85 дм, а гипотенуза равна 171 дм.
Теперь вспомним формулы сокращенного умножения для прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} (a+b) \cdot c\]
\[S = \frac{1}{2} (x+y) \cdot 171\]
Используя формулу для площади и известные значения, найдем площадь треугольника.