Какие интервалы графика функции y=6x-cos3x являются выпуклыми вверх (вниз)?

Леонид

36

Чтобы определить, какие интервалы графика функции \(y=6x-\cos3x\) являются выпуклыми вверх и которые выпуклыми вниз, нам нужно проанализировать вторую производную этой функции.

1. Начнем с нахождения первой производной функции \(y=6x-\cos3x\). Для этого возьмем производную по \(x\) от обеих частей уравнения и получим:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(y) = \frac{{d}}{{dx}}(6x-\cos3x)
\]

Производная по \(x\) от константы \(6x\) равна 6, а производная по \(x\) от \(-\cos3x\) будет \(\sin3x \cdot 3\). Следовательно, первая производная равна:

\[
y" = 6 - 3\sin3x
\]

2. Затем возьмем вторую производную, чтобы определить выпуклость. Снова возьмем производную по \(x\) от обеих частей уравнения:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(y") = \frac{{d}}{{dx}}(6 - 3\sin3x)
\]

Производная по \(x\) от константы 6 равна нулю, а производная по \(x\) от \(-3\sin3x\) будет \(-9\cos3x\). Следовательно, вторая производная равна:

\[
y"" = -9\cos3x
\]

3. Теперь, чтобы определить, в каких интервалах график функции \(y=6x-\cos3x\) является выпуклым вверх, мы должны найти интервалы, где вторая производная \(y""\) положительна или равна нулю.

\[
-9\cos3x \geq 0
\]

Если мы решим это неравенство, получим:

\[
\cos3x \leq 0
\]

4. Затем мы находим значения \(x\), для которых \(\cos3x\) меньше или равно нулю. Значения \(\cos3x\) равны нулю, когда аргумент \(\cos\) является кратным \(\frac{{\pi}}{{2}}\), то есть:

\[
3x = \frac{{\pi}}{{2}} + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

Делая все возможные замены для \(k\), мы найдем значения \(x\). Возможные значения для \(x\) таким образом будут:

\[
x = \frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + k\pi}}{{3}}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

Таким образом, интервалы выпуклости вверх функции \(y=6x-\cos3x\) будут:

\[
\left\{\left(\frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + k\pi}}{{3}}, +\infty\right) \right\}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

5. Чтобы определить интервалы выпуклости вниз, мы должны найти интервалы, где вторая производная \(y""\) отрицательна или равна нулю.

\[
-9\cos3x < 0
\]

Решая это неравенство, получаем:

\[
\cos3x > 0
\]

Аналогично вышеуказанному способу, мы находим значения \(x\) для \(\cos3x\), которые больше нуля. Значения \(\cos3x\) больше нуля, когда аргумент \(\cos\) лежит между \(-\frac{{\pi}}{{2}}\) и \(\frac{{\pi}}{{2}}\). Аргументы \(\cos\) таким образом имеют вид:

\[
3x \in \left(-\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi, \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi\right), \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

Делая все возможные замены для \(k\), мы найдем значения \(x\). Возможные значения для \(x\) будут:

\[
x \in \left(-\frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi}}{{3}}, \frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi}}{{3}}\right), \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

Таким образом, интервалы выпуклости вниз функции \(y=6x-\cos3x\) будут:

\[
\left\{\left(-\frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi}}{{3}}, \frac{{\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi}}{{3}}\right) \right\}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}
\]

Это подробное объяснение дает нам информацию о том, какие интервалы графика функции \(y=6x-\cos3x\) являются выпуклыми вверх и вниз.