Какова разница между длинами отрезков ВК и КС в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC, если известно, что
Какова разница между длинами отрезков ВК и КС в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC, если известно, что AB = ВС = 13 и ВК - биссектриса длиной 12?
Облако 12
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства равнобедренного прямоугольного треугольника. Давайте разберемся пошагово.1. Известно, что AB = ВС = 13. В равнобедренном треугольнике это означает, что стороны AB и ВС равны друг другу.
2. Пусть ВК - биссектриса треугольника ABC. Биссектриса треугольника делит противоположный ей угол на два равных угла. Таким образом, угол ВКС равен углу ВКА, и угол ВКА равен углу КСА.
3. Так как у нас равнобедренный треугольник, то угол К равен углу А.
4. Теперь давайте рассмотрим треугольник ВКС. У нас есть два равных угла - углы ВКА и КСА. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол ВКС будет равен (180 - 2А) градусам.
5. Известно также, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поэтому угол ВАС равен (2А-90) градусам.
6. Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Вспомним, что тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
Тангенс угла ВКС =
Тангенс угла ВАС =
Но мы знаем, что ВК = ВС = 13. Поэтому:
Тангенс угла ВКС =
Тангенс угла ВАС =
7. Итак, мы получили два тригонометрических соотношения:
Тангенс угла ВКС =
Тангенс угла ВАС =
8. Наконец, равенство тангенсов равных углов означает равенство их аргументов:
Угол ВКС = Угол ВАС
То есть,
9. Перемножаем обе части уравнения:
Полученное уравнение говорит нам, что произведение ВА и КС равно квадрату стороны ВС.
10. Все, что нам осталось сделать, это выразить КС через ВА:
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи, какова разница между длинами отрезков ВК и КС в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC.
Разница между ВК и КС равна:
Это и есть искомая разница длин отрезков ВК и КС в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC.