Какова разница между первообразными F1 и F2, проходящими через точки M и N соответственно? Опишите расположение

Веселый_Смех

42

Для начала, давайте разберемся, что такое первообразная функции. Первообразная, также известная как антипроизводная, - это функция, производная от которой равна исходной функции.

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 15x^2 - 14x + 7\), мы должны постепенно интегрировать каждый член функции. Для этого возьмем интеграл каждого члена поотдельности.

\[
\int(15x^2)dx = 5x^3 + C_1
\]

\[
\int(-14x)dx = -7x^2 + C_2
\]

\[
\int(7)dx = 7x + C_3
\]

Здесь \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) - это произвольные постоянные, которые появляются после интегрирования. Общее решение будет иметь вид:

\[
F(x) = 5x^3 - 7x^2 + 7x + C
\]

Теперь перейдем к задаче о разнице между первообразными \(F_1\) и \(F_2\), проходящими через точки M и N соответственно.

Мы получили общий вид первообразной функции \(F(x)\), а теперь мы можем найти конкретные значения по точкам M и N.

Для точки M(-1, 1) подставим координаты в уравнение первообразной:

\[
1 = 5(-1)^3 - 7(-1)^2 + 7(-1) + C
\]

Решая это уравнение, найдем значение постоянной \(C_1\). По аналогии, для точки N(0, 7), подставим координаты в уравнение первообразной:

\[
7 = 5(0)^3 - 7(0)^2 + 7(0) + C
\]

Решая это уравнение, найдем значение постоянной \(C_2\).

Теперь у нас есть специфичные первообразные \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\), которые проходят через точки M и N соответственно.

Посмотрим на графики этих первообразных для лучшего понимания их расположения.

\[
\text{График первообразной } F_1(x) = 5x^3 - 7x^2 + 7x + C_1
\]

\[
\text{График первообразной } F_2(x) = 5x^3 - 7x^2 + 7x + C_2
\]

На графиках мы можем увидеть, как каждая из первообразных отличается на константу \(C_1\) и \(C_2\). Они имеют одинаковую форму, но различаются по вертикальному смещению на величину постоянных. Таким образом, графики первообразных \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) параллельны, но проходят через разные точки M и N.

Итак, разница между первообразными состоит в значениях постоянных \(C_1\) и \(C_2\), которые определяют их вертикальное смещение по графику.