Какова разница в потенциальной энергии упруго деформированных пружин, если первая пружина удлиняется в 3 раза меньше

Zabytyy_Sad

8

Для решения данной задачи, давайте введем некоторые обозначения. Пусть у нас есть две пружины: первая пружина имеет удлинение \(x_1\) и жесткость \(k\), а вторая пружина имеет удлинение \(x_2\). Мы хотим найти разницу в потенциальной энергии упруго деформированных пружин и исследовать, как на нее влияет разница в удлинениях пружин.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой:

\[U = \frac{1}{2} k x^2\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(k\) - жесткость пружины, \(x\) - ее удлинение.

Для нахождения разницы между потенциальными энергиями двух пружин, мы можем выразить каждую из них через их удлинения:

\[U_1 = \frac{1}{2} k (x_1)^2\]
\[U_2 = \frac{1}{2} k (x_2)^2\]

Задача говорит, что первая пружина удлиняется в 3 раза меньше, но имеет такую же жесткость. Из этого следует, что \(x_1 = \frac{1}{3} x_2\).

Теперь мы можем заменить \(x_1\) в формуле для \(U_1\):

\[U_1 = \frac{1}{2} k \left(\frac{1}{3} x_2\right)^2\]

Давайте упростим это выражение:

\[U_1 = \frac{1}{2} k \cdot \frac{1}{9} x_2^2\]
\[U_1 = \frac{1}{18} k x_2^2\]

Так как у второй пружины удлинение равно \(x_2\), то ее потенциальная энергия равна \(U_2 = \frac{1}{2} k x_2^2\).

Теперь мы можем найти разницу между потенциальными энергиями:

\[\Delta U = U_2 - U_1\]
\[\Delta U = \frac{1}{2} k x_2^2 - \frac{1}{18} k x_2^2\]

Давайте сгруппируем подобные члены и упростим:

\[\Delta U = \frac{9}{18} k x_2^2 - \frac{1}{18} k x_2^2\]
\[\Delta U = \frac{8}{18} k x_2^2\]

Теперь мы можем заметить, что \(\frac{8}{18} = \frac{4}{9}\):

\[\Delta U = \frac{4}{9} k x_2^2\]

Таким образом, разница в потенциальной энергии между двумя упруго деформированными пружинами равна \(\frac{4}{9} k x_2^2\), где \(k\) - жесткость пружины, \(x_2\) - удлинение второй пружины.