Какова разность между радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности правильного треугольника

Загадочный_Магнат

24

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать некоторые свойства описанных и вписанных окружностей в правильных треугольниках.

Для начала, давайте определим, что такое описанная окружность и вписанная окружность в правильном треугольнике.

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Радиус такой окружности обозначим как \(R\).

Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Радиус такой окружности обозначим как \(r\).

Теперь давайте воспользуемся следующим свойством: в правильном треугольнике, радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.

То есть, мы можем записать следующее соотношение:

\[R = 2r\]

Теперь нам нужно выразить радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности через сторону треугольника.

Для начала найдем радиус вписанной окружности. В правильном треугольнике, высота, проведенная к одной из сторон, является радиусом вписанной окружности.

У нас есть правильный треугольник со стороной 18 см. Для него можно использовать различные формулы, но здесь я приведу простой способ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом вписанной окружности и половиной стороны треугольника.

По теореме Пифагора, мы знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Используя данную информацию, мы можем записать:

\[(\frac{1}{2} \cdot 18)^2 + r^2 = 18^2\]

Упростив это уравнение, получаем:

\[r^2 + 81 = 324\]

Вычитая 81 из обеих сторон уравнения, получаем:

\[r^2 = 243\]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти значение \(r\):

\[r = \sqrt{243}\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[r = 3\sqrt{3}\]

Теперь, с помощью соотношения \(R = 2r\), мы можем найти радиус описанной окружности.

\[R = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

Наконец, чтобы найти разность между радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности, мы вычитаем \(r\) из \(R\):

\[6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, разность между радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности в правильном треугольнике со стороной 18 см равна \(3\sqrt{3}\) см.