Какова разность между шестым и вторым членами арифметической прогрессии, если их сумма равна -6? Кроме того, если

Lev_7246

46

Давайте начнем с решения первой части задачи: определения разности между шестым и вторым членами арифметической прогрессии, если их сумма равна -6.

Пусть первый член прогрессии обозначен как \( a \), а разность между членами — как \( d \). Данные условия позволят нам составить уравнение, используя эти обозначения.

Шестой член арифметической прогрессии можно записать как \( a + 5d \), так как он находится на шесть мест впереди от второго члена. Таким образом, мы можем записать это уравнение:

\[ a + (a + 5d) = -6 \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ 2a + 5d = -6 \]

Следующий шаг — использовать информацию о разности между девятым и седьмым членами прогрессии. Если девятый член на 1 больше седьмого, это означает, что:

\[ a + 8d = a + 6d + 1 \]

Опять же, объединим подобные члены:

\[ 2d = 1 \]

Теперь, когда у нас есть две уравнения, мы можем решить их методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом исключения.

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2:

\[ 4d = 2 \]

Теперь вычтем это уравнение из первого:

\[ (2a + 5d) - (4d) = -6 - 2 \]
\[ 2a - d = -8 \]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
2a + 5d &= -6 \\
2a - d &= -8 \\
\end{align*}
\]

Методом исключения найдем значение переменных:

\[ (2a + 5d) - (2a - d) = -6 - (-8) \]
\[ 2a + 5d - 2a + d = 2 \]
\[ 6d = 2 \]
\[ d = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь, когда мы знаем разность между членами прогрессии \( d \), можно найти первый член \( a \).

Подставим значение \( d \) во второе уравнение:

\[ 2a - \frac{1}{3} = -8 \]

Чтобы избавиться от дроби, домножим на 3:

\[ 6a - 1 = -24 \]

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\[ 6a = -23 \]

Разделим обе стороны на 6:

\[ a = -\frac{23}{6} \]

Таким образом, разность между шестым и вторым членами арифметической прогрессии равна \( \frac{1}{3} \), а первый член этой прогрессии равен \( -\frac{23}{6} \).