Какова сила притяжения между шариком массой m и однородным шаром, внутри которого находится сферическая плоскость

Марина

50

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который формулируется следующим образом: сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

Пусть масса шарика равна \(m\), а масса однородного шара равна \(M\). Радиус шара \(R\) и расстояние между их центрами тяжести равно \(d\).

Тогда сила притяжения между этими двумя телами можно выразить следующей формулой:

\[F = G \cdot \frac{m \cdot M}{d^2}\]

где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная.

Теперь, чтобы найти силу притяжения между шариком и сферической плоскостью, нам необходимо определить, что масса плоскости является массой составной системы, состоящей из самого шара и сферической оболочки радиусом \(R/2\) внутри шара.

Подсчитаем массу составной системы:

Масса сферической оболочки можно найти по формуле для объема оболочки:

\[V = \frac{4}{3} \pi ((R/2)^3 - r^3)\]

где \(V\) - объем сферической оболочки, \(r\) - радиус сферической плоскости (\(R/2\) в данном случае).


Так как плотность однородного шара по определению постоянна, то мы можем записать массу шара как произведение плотности на его объем:

\[M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3\]

где \(\rho\) - плотность однородного шара.

Теперь можем сделать следующее выражение:

\[M" = M + \frac{4}{3} \pi ((R/2)^3 - r^3) \rho\]

где \(M"\) - масса составной системы.

Теперь, подставляем массу составной системы и расстояние между их центрами тяжести в формулу для силы притяжения:

\[F = G \cdot \frac{m \cdot M"}{d^2}\]

где \(F\) - сила притяжения между шариком и плоскостью, \(d\) - расстояние между их центрами тяжести.

Важно отметить, что плоскость должна быть достаточно близко к шару, чтобы ее создаваемое поле на шаре было незначительным, а в то же время достаточно далеко от центра шара, чтобы массой ее можно было пренебречь. Кроме того, важно, чтобы размеры шара и плоскости были сравнимы с расстоянием между их центрами. Если это не так, то дополнительные формулы или допущения могут потребоваться для точного решения задачи.