Какова скорость движения керосина в трубопроводе с горизонтальным расположением (см. рис. 8.5), если показание ртутного

Svetlyachok_V_Trave

64

Чтобы рассчитать скорость движения керосина в трубопроводе, воспользуемся уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли имеет следующий вид:

\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]

где:
\( P_1 \) и \( P_2 \) - давления в начале и конце трубопровода соответственно,
\( \rho \) - плотность жидкости (в данном случае керосина),
\( v_1 \) и \( v_2 \) - скорости движения жидкости в начале и конце трубопровода соответственно,
\( g \) - ускорение свободного падения,
\( h_1 \) и \( h_2 \) - высоты соответствующих точек над некоторым положением, выбранным произвольно.

В данной задаче трубопровод горизонтален, поэтому разность высот \( h_1 \) и \( h_2 \) будет равна нулю. Отсюда следует:

\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \]

Также дано, что показание ртутного дифференциального манометра составляет 50 мм. Поскольку ртути и керосина столбы жидкостей соединены, разность давлений \( \Delta P \) (выраженная в Па) между точками 1 и 2 равна разности высот столбов ртути.

Можем использовать следующую формулу для вычисления разности давлений:

\[ \Delta P = \rho_{\text{рт}} \cdot g \cdot \Delta h \]

где:
\( \rho_{\text{рт}} \) - плотность ртути,
\( g \) - ускорение свободного падения,
\( \Delta h \) - разность высот столбов ртути.

Подставим конкретные значения в формулу:

\[ \Delta P = 13600 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.05 \, \text{м} \]

\[ \Delta P = 6668 \, \text{Па} \]

По условию также известно, что плотность керосина равна 780 кг/м\(^3\). Подставим все полученные значения в уравнение Бернулли:

\[ P_1 + \frac{1}{2} \cdot 780 \cdot v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \cdot 780 \cdot v_2^2 + 6668 \]

Поскольку трубопровод горизонтален, давления в начале и конце трубопровода будут одинаковыми, а значит \( P_1 = P_2 \). Тогда уравнение примет следующий вид:

\[ \frac{1}{2} \cdot 780 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 780 \cdot v_2^2 + 6668 \]

Упростим это уравнение, разделив обе части на \( \frac{1}{2} \cdot 780 \):

\[ v_1^2 = v_2^2 + \frac{6668}{780} \]

\[ v_1^2 = v_2^2 + 8.55 \]

Теперь учитывая, что плотность керосина равна 780 кг/м\(^3\), можно выразить отношение скоростей:

\[ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{1 + \frac{8.55}{v_2^2}} \]

Далее нужно решить это уравнение для неизвестной скорости \( v_2 \). Выполним следующие шаги:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = 1 + \frac{8.55}{v_2^2} \]

2. Перенесем выражение \(\frac{8.55}{v_2^2}\) налево:

\[ \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1 = \frac{8.55}{v_2^2} \]

3. Перемножим обе части уравнения на \(v_2^2\):

\[ \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 \cdot v_2^2 - v_2^2 = 8.55 \]

4. Для удобства обозначим \(\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2\) как \(x\):

\[ x \cdot v_2^2 - v_2^2 = 8.55 \]

5. Вынесем \(v_2^2\) за скобки:

\[ (x - 1) \cdot v_2^2 = 8.55 \]

6. Разделим обе части уравнения на \(x - 1\):

\[ v_2^2 = \frac{8.55}{x - 1} \]

7. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ v_2 = \sqrt{\frac{8.55}{x - 1}} \]

Таким образом, получаем выражение для скорости \( v_2 \). Теперь можно подставить известное значение \( v_1 \) и решить уравнение:

\[ v_2 = \sqrt{\frac{8.55}{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1}} \]

Пожалуйста, введите известное значение скорости \( v_1 \), и я помогу вам решить это уравнение для \( v_2 \).