Какова скорость и ускорение точки в момент времени t=2, если закон движения точки по прямой задается формулой

Cherepaha

12

Для решения этой задачи нам нужно найти скорость и ускорение точки в момент времени \(t = 2\), используя формулу для закона движения точки по прямой, которая дана как \(s(t) = 4t^2\), где \(t\) - время в секундах, а \(s(t)\) - отклонение точки от начального положения в метрах.

Сначала найдем скорость точки. Скорость определяется как скорость изменения отклонения точки по времени. Мы можем найти ее, взяв производную функции \(s(t)\) по времени \(t\):

\[
v(t) = \frac{{ds}}{{dt}}
\]

Для нашего случая:

\[
v(t) = \frac{{d}}{{dt}}(4t^2)
\]

Чтобы найти производную, нам нужно применить правило дифференцирования для степенной функции и коэффициента:

\[
v(t) = 8t
\]

Теперь мы знаем, что скорость точки в момент времени \(t\) равна \(8t\). Чтобы найти значение скорости в момент времени \(t = 2\), подставляем \(t = 2\) в формулу:

\[
v(2) = 8(2) = 16 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, скорость точки в момент времени \(t = 2\) равна \(16\) м/с.

Теперь перейдем к нахождению ускорения точки. Ускорение определяется как скорость изменения скорости точки по времени. Мы можем найти его, взяв производную функции \(v(t)\) по времени \(t\):

\[
a(t) = \frac{{dv}}{{dt}}
\]

Для нашего случая:

\[
a(t) = \frac{{d}}{{dt}}(8t)
\]

Применяя те же правила дифференцирования, получим:

\[
a(t) = 8
\]

Таким образом, ускорение точки не зависит от времени и равно постоянной величине \(8\) м/с\(^2\).

Итак, в момент времени \(t = 2\), скорость точки составляет \(16\) м/с, а ускорение равно \(8\) м/с\(^2\).