Какова скорость истечения газов, если ракета массой 800 т поднимается на высоту 80 метров при сгорании 50 т топлива

Максим

26

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется применить закон сохранения импульса.

Пусть \(v\) - искомая скорость истечения газов (скорость выброса топлива), \(m\) - масса топлива, которое сгорает в мгновение взлета, \(M\) - масса ракеты без топлива и \(h\) - высота подъема ракеты. Тогда по закону сохранения импульса сила тяжести, действующая на ракету, равна изменению импульса газов, выброшенных из ракеты:

\[
F_{\text{тяж}}} = \dot{m} \cdot v + (M + m) \cdot g
\]

Здесь \(F_{\text{тяж}}} = (M + m) \cdot a_{\text{взл}}} - сила тяжести, где \(a_{\text{взл}}} - ускорение взлета, равное \(9.8 \, \text{м/с}^2\) на Земле. Также использовано выражение для импульса газов, где \(\dot{m}\) - скорость истечения газов, равная \(m/\Delta t\), где \(\Delta t\) - время сгорания топлива.

Так как ракета поднимается на высоту \(h\), то сумма работ сил тяжести и сопротивления воздуха равна изменению полной механической энергии ракеты:

\[
F_{\text{тяж}}} \cdot h = (M + m) \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (M + m) \cdot v^2
\]

Далее, мы можем разделить это уравнение на \((M + m)\) и решить относительно \(\dot{m}\):

\[
g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v^2
\]

\[
v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}
\]

Теперь мы можем подставить известные значения и вычислить искомую скорость истечения газов:

\[
v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 80 \, \text{м}} \approx \sqrt{1568} \approx 39.6 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, скорость истечения газов равна примерно 39.6 м/с.