Какова скорость катера, если после плавания на расстояние 288 км от пункта А в пункт Б и обратно, он потратил

Шерлок

52

Для решения данной задачи воспользуемся формулой скорости: скорость = расстояние / время.

Обозначим скорость катера как \(V\) (в км/ч), а время на один путь (от пункта А в пункт Б или обратно) как \(T\). Поскольку катер плывет по течению реки на расстояние 288 км и обратно, то общее расстояние равно \(2 \times 288\) км = 576 км.

Также из условия задачи известно, что время на обратный путь на 3 часа меньше, чем на прямой путь. Значит, можно записать следующее уравнение:

\[T - 3 = T + \frac{{288}}{{V + 4}}\]

(где \(\frac{{288}}{{V + 4}}\) - время, затраченное на путь с течением реки, а \(T - 3\) - время на противоположный путь).

Теперь решим это уравнение:

\[T - 3 = T + \frac{{288}}{{V + 4}}\]

Избавимся от дроби, умножив обе стороны уравнения на \(V + 4\):

\[(T - 3)(V + 4) = T + \frac{{288}}{{V + 4}} \cdot (V + 4)\]

Раскроем скобки:

\[TV + 4T - 3V - 12 = T + 288\]

Упростим:

\[TV + 3T - 3V = 300\]

Теперь сгруппируем переменные:

\[TV - 3V + 3T - T = 300\]

\[V(T - 3) + 3(T - 1) = 300\]

Введем новую переменную \(X = T - 1\):

\[VX + 3X = 300\]

Вынесем общий множитель:

\[(V + 3)X = 300\]

Теперь найдем значение \(X\):

\[X = \frac{{300}}{{V + 3}}\]

Вернемся к первоначальной переменной:

\[T - 1 = \frac{{300}}{{V + 3}}\]

\(T = \frac{{300}}{{V + 3}} + 1\)

Теперь заменим \(T\) в первом уравнении:

\[T - 3 = T + \frac{{288}}{{V + 4}}\]

\[\frac{{300}}{{V + 3}} + 1 - 3 = \frac{{300}}{{V + 3}} + 1 + \frac{{288}}{{V + 4}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{300}}{{V + 3}} - 2 = \frac{{300}}{{V + 3}} + \frac{{288}}{{V + 4}}\]

Вычтем \(\frac{{300}}{{V + 3}}\) из обеих сторон:

\[-2 = \frac{{288}}{{V + 4}}\]

Избавимся от дроби, умножив обе стороны на \(V + 4\):

\[-2(V + 4) = 288\]

Раскроем скобки:

\[-2V - 8 = 288\]

Перенесем константу вправо:

\[-2V = 296\]

Поделим обе стороны на \(-2\):

\[V = -148\]

Однако отрицательное значение скорости катера не имеет физического смысла. Поэтому полученное значение не подходит.

Мы совершили ошибку в рассуждениях. Обратите внимание, что время на обратный путь должно быть меньше времени на прямой путь. Следовательно, уравнение должно быть записано так:

\[T - 3 = T - \frac{{288}}{{V + 4}}\]

Продолжим решение с новым уравнением:

\[T - 3 = T - \frac{{288}}{{V + 4}}\]

\[(T - 3)(V + 4) = T - \frac{{288}}{{V + 4}} \cdot (V + 4)\]

\[TV + 4T - 3V - 12 = T - 288\]

\[TV + 4T - 3V = T - 276\]

\[TV - 3V + 3T - T = -276\]

\[V(T - 3) + 3(T - 1) = -276\]

\[V(T - 3) = -276 - 3(T - 1)\]

\[V(T - 3) = -276 - 3T + 3\]

\[V(T - 3) + 3T = -273\]

\[V(T - 3) = -273 - 3T\]

\[V = \frac{{-273 - 3T}}{{T - 3}}\]

Теперь заменим \(T\) на \(\frac{{300}}{{V + 3}} + 1\):

\[V = \frac{{-273 - 3 \cdot (\frac{{300}}{{V + 3}} + 1)}}{{\frac{{300}}{{V + 3}} + 1 - 3}}\]

Упростим выражение:

\[V = \frac{{-273 - 900}}{{\frac{{300}}{{V + 3}} - 2}}\]

\[V = \frac{{-1173}}{{\frac{{300}}{{V + 3}} - 2}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \((V + 3)\):

\[V = \frac{{(-1173)(V + 3)}}{{300 - 2(V + 3)}}\]

\[V = \frac{{-1173V - 3519}}{{300 - 2V - 6}}\]

\[V = \frac{{-1173V - 3519}}{{294 - 1173V}}\]

Домножим числитель и знаменатель на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательного знака в числителе:

\[V = \frac{{1173V + 3519}}{{1173V - 294}}\]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[V = \frac{{3519}}{{1173V - 294}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\frac{1}{3}\), чтобы сократить коэффициенты:

\[V = \frac{{1173}}{{391V - 98}}\]

Перенесем члены с \(V\) влево:

\[391V^2 - 98V - 1173 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

\[V = \frac{{-B \pm \sqrt{{B^2 - 4AC}}}}{{2A}}\]

\[V = \frac{{98 \pm \sqrt{{98^2 - 4 \cdot 391 \cdot (-1173)}}}}{{2 \cdot 391}}\]

\[V = \frac{{98 \pm \sqrt{{9604 + 1836048}}}}{{782}}\]

\[V = \frac{{98 \pm \sqrt{{1845652}}}}{{782}}\]

\[V = \frac{{98 \pm 1358}}{{782}}\]

Теперь рассмотрим два возможных значения для \(V\):

1) \(V = \frac{{98 + 1358}}{{782}} = \frac{{1456}}{{782}} \approx 1.86\) км/ч

2) \(V = \frac{{98 - 1358}}{{782}} = \frac{{-1260}}{{782}} \approx -1.61\) км/ч

Значение скорости катера не может быть отрицательным, поэтому единственное верное значение скорости катера равно:

\[V \approx 1.86\) км/ч\]

Таким образом, скорость катера составляет приблизительно 1.86 км/ч.