Пересечение медианы треугольника с биссектрисой образует угол 90 градусов. Длина стороны, к которой проведена медиана

Orel

20

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Пусть треугольник ABC - наш треугольник, где медиана проведена к стороне BC, а биссектриса проведена к стороне AC. Пусть точка пересечения медианы и биссектрисы - точка М.

2. Из условия задачи нам известно, что угол AMB равен 90 градусов. Также дано, что сторона BC, к которой проведена медиана, равна 6.

3. Учитывая, что точка М является центром отрезка AM (медианы), он делится в отношении 2:1. То есть AM = 2 * BM.

4. Также известно, что сторона AC, к которой проведена биссектриса, на 3 см больше третьей стороны, то есть AC = AB + 3.

5. Пусть третья сторона треугольника равна х, тогда AC = x + 3.

6. Теперь можем составить уравнение на длины сторон треугольника. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB: AM^2 + BM^2 = AB^2 (AB - третья сторона).

\[2BM^2 + BM^2 = 36\]
\[3BM^2 = 36\]
\[BM = 2\sqrt{3}\]

7. Таким образом, AM = 2 * BM = 2 * 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.

8. Теперь рассмотрим треугольник AMC. Используя теорему Пифагора для этого треугольника: AC^2 = AM^2 + MC^2.

\[(x + 3)^2 = (4\sqrt{3})^2 + (x/2)^2\]
\[x^2 + 6x + 9 = 48 + x^2/4\]
\[24x + 36 = 192 + x^2\]
\[x^2 - 24x - 156 = 0\]
\[x = 26\] (так как сторона треугольника не может быть отрицательной).

Итак, длины остальных сторон треугольника равны: AB = 26, AC = 29, BC = 6.