Какова площадь прямоугольника ABCD, если биссектриса AM делит сторону BC на отрезки BM и MC длиной 9

Zvezdnyy_Pyl

49

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться тем фактом, что биссектриса угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилежащим к этому углу катетам.

Пусть стороны прямоугольника \(AB = a, BC = b\). Так как биссектриса \(AM\) делит сторону \(BC\) в отношении 9:4, то можно записать уравнение пропорции:

\[\frac{BM}{MC} = \frac{9}{4}\]

Так как \(BM + MC = BC\), то мы можем выразить \(BM\) и \(MC\) через \(b\):

\[BM = \frac{9}{9+4} \cdot b = \frac{9}{13}b\]
\[MC = \frac{4}{9+4} \cdot b = \frac{4}{13}b\]

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника \(ABC\), где \(AB = a\), \(BC = b\) и \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\), мы знаем, что \(AM = \sqrt{\left(\frac{9}{13}b\right)^2 + a^2}\).

Так как \(AM\) также является биссектрисой угла \(A\), то площадь прямоугольника \(ABCD\) будет равна произведению сторон \(AB\) и \(AM\):

\[S_{ABCD} = a \cdot \sqrt{\left(\frac{9}{13}b\right)^2 + a^2}\]

Это и будет искомая площадь прямоугольника \(ABCD\).