Какова скорость пули, которая попала в нижний конец вертикально расположенного стержня и вызвала его отклонение на угол
Какова скорость пули, которая попала в нижний конец вертикально расположенного стержня и вызвала его отклонение на угол α = 45?
Marusya 13
Для решения этой задачи, нам необходимо применить законы сохранения энергии и момента импульса.Пусть масса пули равна m, начальная скорость пули равна v₀, масса стержня равна M, его длина равна L, а угол отклонения стержня после попадания пули равен α.
Сначала рассмотрим закон сохранения момента импульса. Поскольку стержень начинает отклоняться при попадании пули, его момент импульса изменяется. Изначально момент импульса системы (пуля + стержень) равен нулю, так как пуля не носит с собой никакого момента, и стержень находится в покое.
После попадания пули момент импульса системы не будет равен нулю из-за отклонения стержня. Мы можем использовать принцип сохранения момента импульса, чтобы найти скорость пули, вызывающую это отклонение.
Момент импульса пули можно записать как \(m \cdot v\), где v - скорость пули перед попаданием в стержень.
Момент импульса стержня можно записать как \(I \cdot \omega\), где I - момент инерции стержня, а \(\omega\) - его угловая скорость.
Исходя из закона сохранения момента импульса, сумма моментов импульса пули и стержня до и после столкновения должна быть равной:
\[m \cdot v_0 = I \cdot \omega\]
Момент инерции стержня можно выразить через его массу и длину:
\[I = \frac{1}{3} \cdot M \cdot L^2\]
Угловую скорость стержня мы можем получить из связи между углом отклонения и угловой скоростью:
\[\theta = \frac{2}{3} \cdot \alpha \cdot \frac{L}{2}\]
где θ - смещение конца стержня от исходного положения.
Теперь мы можем подставить величины в уравнение сохранения момента импульса и решить его относительно скорости пули v₀:
\[m \cdot v_0 = \frac{1}{3} \cdot M \cdot L^2 \cdot \omega\]
\[\frac{m \cdot v_0}{\frac{1}{3} \cdot M \cdot L^2} = \omega\]
Теперь воспользуемся соотношением между угловой скоростью и линейной скоростью на конце стержня:
\[\omega = \frac{v_0}{\frac{L}{2}}\]
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
\[\frac{m \cdot v_0}{\frac{1}{3} \cdot M \cdot L^2} = \frac{v_0}{\frac{L}{2}}\]
Избавимся от v₀ в знаменателе, умножив обе части уравнения на \(\frac{M \cdot L}{2}\):
\[m \cdot \frac{M \cdot L}{2} = \frac{1}{3} \cdot M \cdot L^2 \cdot v_0\]
Теперь можно решить уравнение относительно скорости пули v₀:
\[v_0 = \frac{3 \cdot m \cdot M \cdot L}{2 \cdot L^2}\]
Таким образом, скорость пули, которая попала в нижний конец вертикально расположенного стержня и вызвала его отклонение на угол α = 45°, будет равна \(\frac{3 \cdot m \cdot M}{2 \cdot L}\).
Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении мы предполагаем, что сталкновение пули и стержня происходит без потери энергии и не учитываем силы трения. В реальной ситуации может потребоваться учитывать дополнительные факторы.