Какова скорость шарика 1 после столкновения с шаром 2, который висит на прямом невесомом стержне длиной 1,7

Yuzhanka

55

Для решения этой задачи нам понадобятся законы сохранения импульса и момента импульса.

Первым шагом рассмотрим закон сохранения импульса, который гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения должна быть равна. Импульс определяется как произведение массы тела на его скорость.

Обозначим массу шарика 1 как \(m_1\) и его скорость до столкновения как \(v_1\). Масса шарика 2 обозначим как \(m_2\) и его скорость до столкновения как \(v_2\). После столкновения шарик 2 будет отклоняться на угол 20 градусов и его скорость станет равной \(v_2"\). Также важно отметить, что масса шарика 2 остается неизменной и равна \(m_2\).

Закон сохранения импульса можно записать следующим образом:
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2"\]
Учитывая, что шарик 1 двигается горизонтально до и после столкновения, его скорость не изменяется, то есть \(v_1 = v_1"\).

Теперь перейдем к рассмотрению закона сохранения момента импульса. Момент импульса определяется как произведение массы тела на его скорость и на расстояние до оси вращения.

Для шарика 2, висящего на стержне, вращающегося вокруг оси на угол 20 градусов, момент импульса будет сохраняться относительно этой оси. Обозначим момент инерции шарика 2 как \(I_2\). Тогда закон сохранения момента импульса можно записать следующим образом:
\[m_2v_2l = I_2\omega\]
где \(l\) - длина стержня, а \(\omega\) - угловая скорость шарика 2.

Проложим две параллельные оси поворота для обоих законов сохранения: одну через начальную точку шарика 2 и другую через конечную точку шарика 2 после столкновения. Таким образом, их левые части будут равны, а правые части можно связать равенством угловых скоростей, так как они вращаются вокруг одной и той же оси:
\[m_2v_2l = I_2\omega_2"\]
где \(\omega_2"\) - угловая скорость шарика 2 после столкновения.

Учитывая, что масса шарика 2 остается постоянной и равной \(m_2\), можем разделить обе части уравнения на \(m_2\):
\[v_2l = \frac{I_2}{m_2}\omega_2"\]
Определим момент инерции шарика 2 относительно оси вращения \(I_2\). Для твердого шара момент инерции вычисляется по формуле \(I = \frac{2}{5}mr^2\), где \(m\) - масса, а \(r\) - радиус шара. В данном случае, учитывая, что шарик висит на стержне, его момент инерции будет равен \(I_2 = ml^2\).

Подставляя значение \(I_2 = ml^2\) в уравнение, получаем:
\[v_2l = \frac{ml^2}{m_2}\omega_2"\]
Упростим это уравнение, разделив обе части на \(l\):
\[v_2 = \frac{ml}{m_2}\omega_2"\]

Теперь, имея выражение для \(v_2\) из закона сохранения импульса и выражение для \(v_2\) из закона сохранения момента импульса, мы можем приравнять их:
\[m_1v_1 = \frac{ml}{m_2}\omega_2"\]
Подставляя \(v_1 = v_1"\), получаем:
\[m_1v_1 = \frac{ml}{m_2}\omega_2"\]
Мы получили уравнение, из которого можно выразить скорость шарика 1 после столкновения \(v_1"\):
\[v_1" = \frac{ml}{m_1}\omega_2"\]
Также мы знаем, что угловая скорость \(\omega_2"\) связана с линейной скоростью \(v_2"\) следующим образом:
\(\omega_2" = \frac{v_2"}{l}\)

Подставляем это выражение обратно и получаем скорость шарика 1 после столкновения:
\[v_1" = \frac{ml}{m_1}\frac{v_2"}{l}\]
Упрощаем уравнение и получаем окончательный ответ:
\[v_1" = \frac{m}{m_1}v_2"\]

Таким образом, скорость шарика 1 после столкновения с шариком 2 будет равна произведению отношения масс \(m\) и \(m_2\) на скорость шарика 2 после столкновения \(v_2"\).